没f(x)= { , xneq 0 0, x=0 . 其中g(x)有

考查要点：本题主要考查分段函数的导数计算及导数的连续性判断，涉及分式函数求导、洛必达法则的应用，以及利用泰勒展开或极限分析函数在分段点处的连续性。

解题核心思路：

1. 分段求导：对$x \neq 0$的情况直接应用商的求导法则；对$x=0$的情况，利用导数定义结合洛必达法则求解。
2. 连续性分析：通过计算$x \neq 0$处的导数表达式验证连续性，重点分析$x=0$处导数的左右极限是否等于$f'(0)$。

破题关键点：

• 导数定义的应用：在$x=0$处，需通过极限定义求导，注意两次应用洛必达法则。
• 泰勒展开辅助分析：通过展开$g(x)$和$e^{-x}$至二阶项，简化极限计算。

(1) 求$f'(x)$

当$x \neq 0$时

对$f(x) = \dfrac{g(x) - e^{-x}}{x}$应用商的求导法则：
$f'(x) = \dfrac{[g'(x) + e^{-x}] \cdot x - [g(x) - e^{-x}] \cdot 1}{x^2} = \dfrac{xg'(x) - g(x) + (x+1)e^{-x}}{x^2}.$

当$x = 0$时

利用导数定义：
$f'(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x) - e^{-x}}{x^2}.$
两次应用洛必达法则：

1. 第一次：分子分母均为$0$型，导数为$\dfrac{g'(x) + e^{-x}}{2x}$；
2. 第二次：分子仍为$0$型，导数为$\dfrac{g''(x) - e^{-x}}{2}$；
   代入$x=0$得：
   $f'(0) = \dfrac{g''(0) - 1}{2}.$

综上：
$f'(x) = \begin{cases}\dfrac{xg'(x) - g(x) + (x+1)e^{-x}}{x^2}, & x \neq 0, \\\dfrac{g''(0) - 1}{2}, & x = 0.\end{cases}$

(2) 讨论$f'(x)$的连续性

$x \neq 0$处

$f'(x)$的表达式为分式，分子分母均为连续函数（因$g(x)$二阶连续可导），故$f'(x)$在$x \neq 0$处连续。

$x = 0$处

计算$\lim\limits_{x \to 0} f'(x)$：
$\lim_{x \to 0} \dfrac{xg'(x) - g(x) + (x+1)e^{-x}}{x^2}.$
泰勒展开分析：

• $g(x) = 1 - x + \dfrac{g''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$，
• $e^{-x} = 1 - x + \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$，
  代入分子化简后得主部为$\dfrac{g''(0) - 1}{2}x^2$，故极限为$\dfrac{g''(0) - 1}{2}$，等于$f'(0)$。

因此，$f'(x)$在$x=0$处连续，进而$f'(x)$在$\mathbb{R}$上连续。