没f(x)= { , xneq 0 0, x=0 . 其中g(x)有

步骤 1：求 $f'(x)$ 当 $x \neq 0$ 时
根据题目给出的函数 $f(x)$，当 $x \neq 0$ 时，$f(x) = \dfrac{g(x) - e^{-x}}{x}$。对 $f(x)$ 求导，得到：
$$
f'(x) = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{g(x) - e^{-x}}{x}\right) = \dfrac{x[g'(x) + e^{-x}] - [g(x) - e^{-x}]}{x^2} = \dfrac{xg'(x) - g(x) + (x + 1)e^{-x}}{x^2}
$$
步骤 2：求 $f'(0)$
当 $x = 0$ 时，$f(x) = 0$。根据导数的定义，$f'(0)$ 可以通过极限求得：
$$
f'(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{g(x) - e^{-x}}{x} - 0}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x) - e^{-x}}{x^2}
$$
利用洛必达法则，得到：
$$
f'(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{g'(x) + e^{-x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{g''(x) - e^{-x}}{2} = \dfrac{g''(0) - 1}{2}
$$
步骤 3：讨论 $f'(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上的连续性
在 $x = 0$ 处，$f'(x)$ 的极限为：
$$
\lim_{x \to 0} \dfrac{xg'(x) - g(x) + (x + 1)e^{-x}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \dfrac{g''(x) - e^{-x}}{2} = \dfrac{g''(0) - 1}{2} = f'(0)
$$
因此，$f'(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。又因为 $f'(x)$ 在 $x \neq 0$ 处连续，所以 $f'(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上连续。