题目

求下列曲线族所满足的微分方程：(1) (x-C_1)^2 + (y-C_2)^2 = C_3^2；(2) y = C_1 e^x + C_2 x e^x.

求下列曲线族所满足的微分方程： (1) $(x-C_1)^2 + (y-C_2)^2 = C_3^2$； (2) $y = C_1 e^x + C_2 x e^x$.

题目解答

答案

我们来分别求解这两个曲线族所满足的微分方程。 --- ## 第(1)题：曲线族： $$ (x - C_1)^2 + (y - C_2)^2 = C_3^2 $$ 这是一个**圆的方程**，其中 $C_1, C_2, C_3$ 是任意常数，表示圆心为 $(C_1, C_2)$，半径为 $C_3$ 的一族圆。 ### 目标：求出这个曲线族所满足的微分方程，即消去所有任意常数 $C_1, C_2, C_3$ 后，得到的只含 $x, y, y'$（甚至可能含 $y''$）的微分方程。 --- ### 第一步：对原式两边对 $x$ 求导（隐函数求导）原式： $$ (x - C_1)^2 + (y - C_2)^2 = C_3^2 $$ 两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数： $$ 2(x - C_1) + 2(y - C_2) \cdot y' = 0 $$ 整理得： $$ (x - C_1) + (y - C_2) y' = 0 \tag{1} $$ --- ### 第二步：再对 (1) 式求导一次对 (1) 式两边对 $x$ 求导：左边： $$ \frac{d}{dx}[(x - C_1) + (y - C_2) y'] = 1 + \frac{d}{dx}[(y - C_2) y'] $$ 利用乘积法则： $$ \frac{d}{dx}[(y - C_2) y'] = y'' (y - C_2) + y' \cdot y' $$ 所以： $$ 1 + y''(y - C_2) + (y')^2 = 0 \tag{2} $$ --- ### 第三步：消去常数 $C_1, C_2$ 从 (1) 式： $$ (x - C_1) = - (y - C_2) y' $$ 代入原式： $$ (x - C_1)^2 + (y - C_2)^2 = C_3^2 \Rightarrow [-(y - C_2) y']^2 + (y - C_2)^2 = C_3^2 $$ 展开： $$ (y - C_2)^2 (y')^2 + (y - C_2)^2 = C_3^2 \Rightarrow (y - C_2)^2 [1 + (y')^2] = C_3^2 \tag{3} $$ 从 (2) 式： $$ 1 + y''(y - C_2) + (y')^2 = 0 \Rightarrow y''(y - C_2) = -[1 + (y')^2] \Rightarrow y - C_2 = -\frac{1 + (y')^2}{y''} \tag{4} $$ 将 (4) 代入 (3)：左边： $$ (y - C_2)^2 [1 + (y')^2] = \left(-\frac{1 + (y')^2}{y''}\right)^2 [1 + (y')^2] = \frac{[1 + (y')^2]^3}{(y'')^2} $$ 所以： $$ \frac{[1 + (y')^2]^3}{(y'')^2} = C_3^2 \Rightarrow (y'')^2 = \frac{[1 + (y')^2]^3}{C_3^2} $$ 但注意，**我们要求的是不包含任意常数的微分方程**，所以最终微分方程是： $$ \boxed{(y'')^2 = \frac{[1 + (y')^2]^3}{C_3^2}} $$ 但这个式子仍然含有 $C_3$，我们希望完全消去所有常数，因此我们保留 (2) 式作为最终结果： $$ \boxed{1 + y''(y - C_2) + (y')^2 = 0} $$ 但这仍然含有 $C_2$，所以最终我们使用 (4) 式代入 (3) 式，消去所有常数，得到： $$ \boxed{(y'')^2 = \frac{[1 + (y')^2]^3}{C_3^2}} $$ 如果题目允许保留 $C_3$，则这就是答案。但如果要求完全消去常数，那么我们不能写出一个只含 $x, y, y', y''$ 的方程，因为三个任意常数无法用两个导数消去。所以更准确的微分方程是： $$ \boxed{1 + y''(y - C_2) + (y')^2 = 0} $$ --- ## 第(2)题：曲线族： $$ y = C_1 e^x + C_2 x e^x $$ 这是一个线性组合，包含两个任意常数 $C_1, C_2$，因此我们期望得到一个二阶微分方程。 --- ### 第一步：对 $y$ 求导 $$ y = C_1 e^x + C_2 x e^x $$ 求一阶导数： $$ y' = C_1 e^x + C_2 (e^x + x e^x) = C_1 e^x + C_2 e^x + C_2 x e^x $$ 再求二阶导数： $$ y'' = C_1 e^x + C_2 (e^x + e^x + x e^x) = C_1 e^x + 2 C_2 e^x + C_2 x e^x $$ --- ### 第二步：消去常数我们有： - $y = C_1 e^x + C_2 x e^x$ - $y' = C_1 e^x + C_2 e^x + C_2 x e^x$ - $y'' = C_1 e^x + 2 C_2 e^x + C_2 x e^x$ 我们尝试消去 $C_1 e^x$ 和 $C_2 x e^x$。从 $y$ 和 $y'$： $$ y' - y = C_2 e^x \Rightarrow C_2 = \frac{y' - y}{e^x} $$ 从 $y'$ 和 $y''$： $$ y'' - y' = C_2 e^x \Rightarrow C_2 = \frac{y'' - y'}{e^x} $$ 所以： $$ \frac{y' - y}{e^x} = \frac{y'' - y'}{e^x} \Rightarrow y' - y = y'' - y' \Rightarrow 2y' = y + y'' $$ 整理得： $$ \boxed{y'' - 2y' + y = 0} $$ --- ## 最终答案： ### (1) 曲线族 $(x - C_1)^2 + (y - C_2)^2 = C_3^2$ 所满足的微分方程是： $$ \boxed{1 + y''(y - C_2) + (y')^2 = 0} $$ 或若允许保留 $C_3$，则为： $$ \boxed{(y'')^2 = \frac{[1 + (y')^2]^3}{C_3^2}} $$ --- ### (2) 曲线族 $y = C_1 e^x + C_2 x e^x$ 所满足的微分方程是： $$ \boxed{y'' - 2y' + y = 0} $$

解析

第（1）题：
本题考查隐函数求导和消去任意常数的能力。曲线族为圆心和半径均任意的圆，需通过两次求导得到微分方程，消去$C_1, C_2, C_3$。核心思路是利用导数表达几何约束，并结合原方程消元。

第（2）题：
本题考查参数消去法，通过求导构造微分方程。曲线族为指数函数的线性组合，需通过一阶、二阶导数消去$C_1, C_2$，得到二阶齐次线性微分方程。关键在于利用导数的线性组合关系消去参数。

第（1）题

目标

消去$C_1, C_2, C_3$，得到仅含$x, y, y', y''$的微分方程。

第一步：对原方程求导

原方程：
$(x - C_1)^2 + (y - C_2)^2 = C_3^2$
对$x$求导得：
$2(x - C_1) + 2(y - C_2)y' = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - C_1) + (y - C_2)y' = 0 \tag{1}$

第二步：对(1)式再求导

对(1)式求导：
$1 + y''(y - C_2) + (y')^2 = 0 \tag{2}$

第三步：消去常数

从(1)式得：
$x - C_1 = -(y - C_2)y' \quad \Rightarrow \quad y - C_2 = -\frac{x - C_1}{y'}$
代入原方程消去$C_3$：
$\left[-\frac{x - C_1}{y'}\right]^2 (y')^2 + (y - C_2)^2 = C_3^2 \quad \Rightarrow \quad (y - C_2)^2 [1 + (y')^2] = C_3^2 \tag{3}$
结合(2)式消去$C_2$，最终得：
$(y'')^2 = \frac{[1 + (y')^2]^3}{C_3^2}$
或保留$C_2$的形式：
$1 + y''(y - C_2) + (y')^2 = 0$

第（2）题

目标

消去$C_1, C_2$，得到二阶微分方程。

第一步：求导

原方程：
$y = C_1 e^x + C_2 x e^x$
一阶导数：
$y' = C_1 e^x + C_2 e^x + C_2 x e^x$
二阶导数：
$y'' = C_1 e^x + 2C_2 e^x + C_2 x e^x$

第二步：消去常数

通过线性组合消去$C_1, C_2$：

由$y' - y = C_2 e^x$
由$y'' - y' = C_2 e^x$
联立得：
$y' - y = y'' - y' \quad \Rightarrow \quad y'' - 2y' + y = 0$