题目
已知 overrightarrow (a)+3overrightarrow (b)bot 7overrightarrow (a)-5overrightarrow (b), overrightarrow (a)-4overrightarrow (b)bot 7overrightarrow (a)-2overrightarrow (b), 则(a,b)为 () .
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用向量垂直的条件
向量 $\overrightarrow {a}+3\overrightarrow {b}$ 与 $7\overrightarrow {a}-5\overrightarrow {b}$ 垂直，意味着它们的点积为0，即 $(\overrightarrow {a}+3\overrightarrow {b})\cdot(7\overrightarrow {a}-5\overrightarrow {b})=0$。同理，向量 $\overrightarrow {a}-4\overrightarrow {b}$ 与 $7\overrightarrow {a}-2\overrightarrow {b}$ 垂直，意味着 $(\overrightarrow {a}-4\overrightarrow {b})\cdot(7\overrightarrow {a}-2\overrightarrow {b})=0$。
步骤 2：计算点积
根据点积的定义，我们有：
$(\overrightarrow {a}+3\overrightarrow {b})\cdot(7\overrightarrow {a}-5\overrightarrow {b})=7\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {a}+21\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}-5\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {a}-15\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {b}=0$，
$(\overrightarrow {a}-4\overrightarrow {b})\cdot(7\overrightarrow {a}-2\overrightarrow {b})=7\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {a}-28\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}-2\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {a}+8\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {b}=0$。
步骤 3：简化方程
由于 $\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}=\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {a}$，我们可以将上述方程简化为：
$7|\overrightarrow {a}|^2+16\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}-15|\overrightarrow {b}|^2=0$，
$7|\overrightarrow {a}|^2-30\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}+8|\overrightarrow {b}|^2=0$。
步骤 4：求解 $\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}$
将两个方程相加，消去 $\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}$，得到：
$14|\overrightarrow {a}|^2-7|\overrightarrow {b}|^2=0$，
从而 $|\overrightarrow {a}|^2=|\overrightarrow {b}|^2$，即 $|\overrightarrow {a}|=|\overrightarrow {b}|$。
将 $|\overrightarrow {a}|=|\overrightarrow {b}|$ 代入任一方程，解得 $\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}=\frac{1}{2}|\overrightarrow {a}|^2$。
步骤 5：计算夹角
根据向量夹角的余弦公式 $\cos\theta=\frac{\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}}{|\overrightarrow {a}||\overrightarrow {b}|}$，代入 $\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}=\frac{1}{2}|\overrightarrow {a}|^2$ 和 $|\overrightarrow {a}|=|\overrightarrow {b}|$，得到 $\cos\theta=\frac{1}{2}$，从而 $\theta=\frac{\pi}{3}$。
向量 $\overrightarrow {a}+3\overrightarrow {b}$ 与 $7\overrightarrow {a}-5\overrightarrow {b}$ 垂直，意味着它们的点积为0，即 $(\overrightarrow {a}+3\overrightarrow {b})\cdot(7\overrightarrow {a}-5\overrightarrow {b})=0$。同理，向量 $\overrightarrow {a}-4\overrightarrow {b}$ 与 $7\overrightarrow {a}-2\overrightarrow {b}$ 垂直，意味着 $(\overrightarrow {a}-4\overrightarrow {b})\cdot(7\overrightarrow {a}-2\overrightarrow {b})=0$。
步骤 2：计算点积
根据点积的定义，我们有：
$(\overrightarrow {a}+3\overrightarrow {b})\cdot(7\overrightarrow {a}-5\overrightarrow {b})=7\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {a}+21\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}-5\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {a}-15\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {b}=0$，
$(\overrightarrow {a}-4\overrightarrow {b})\cdot(7\overrightarrow {a}-2\overrightarrow {b})=7\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {a}-28\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}-2\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {a}+8\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {b}=0$。
步骤 3：简化方程
由于 $\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}=\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {a}$，我们可以将上述方程简化为：
$7|\overrightarrow {a}|^2+16\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}-15|\overrightarrow {b}|^2=0$，
$7|\overrightarrow {a}|^2-30\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}+8|\overrightarrow {b}|^2=0$。
步骤 4：求解 $\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}$
将两个方程相加，消去 $\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}$，得到：
$14|\overrightarrow {a}|^2-7|\overrightarrow {b}|^2=0$，
从而 $|\overrightarrow {a}|^2=|\overrightarrow {b}|^2$，即 $|\overrightarrow {a}|=|\overrightarrow {b}|$。
将 $|\overrightarrow {a}|=|\overrightarrow {b}|$ 代入任一方程，解得 $\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}=\frac{1}{2}|\overrightarrow {a}|^2$。
步骤 5：计算夹角
根据向量夹角的余弦公式 $\cos\theta=\frac{\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}}{|\overrightarrow {a}||\overrightarrow {b}|}$，代入 $\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {b}=\frac{1}{2}|\overrightarrow {a}|^2$ 和 $|\overrightarrow {a}|=|\overrightarrow {b}|$，得到 $\cos\theta=\frac{1}{2}$，从而 $\theta=\frac{\pi}{3}$。