设D是矩形区域0 leq x leq 1, 0 leq y leq 1, 则二重积分iint_(D)xy(x+y)mathrm(d)sigma的取值范围为() A. [-2,2]B. [-infty,0]C. [0,2]D. [0,+infty]

为了求解二重积分 $\iint\limits_{D}xy(x+y)d\sigma$ 的取值范围，其中 $D$ 是矩形区域 $0 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq 1$，我们首先需要分析被积函数 $xy(x+y)$ 在区域 $D$ 上的取值范围。 1. **确定被积函数的取值范围：** - 被积函数为 $f(x, y) = xy(x + y)$。 - 在区域 $D$ 上， $0 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq 1$。 - 当 $x = 0$ 或 $y = 0$ 时， $f(x, y) = 0$。 - 当 $x = 1$ 和 $y = 1$ 时， $f(1, 1) = 1 \cdot 1 \cdot (1 + 1) = 2$。 - 因此，被积函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上的取值范围是 $[0, 2]$。 2. **计算二重积分：** - 二重积分 $\iint\limits_{D}xy(x+y)d\sigma$ 可以写成 iterated integral: \[ \iint\limits_{D}xy(x+y)d\sigma = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} xy(x+y) \, dy \, dx. \] - 首先，对 $y$ 积分： \[ \int_{0}^{1} xy(x+y) \, dy = \int_{0}^{1} (x^2y + xy^2) \, dy = x^2 \int_{0}^{1} y \, dy + x \int_{0}^{1} y^2 \, dy = x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} + x \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1} = x^2 \cdot \frac{1}{2} + x \cdot \frac{1}{3} = \frac{x^2}{2} + \frac{x}{3}. \] - 然后，对 $x$ 积分： \[ \int_{0}^{1} \left( \frac{x^2}{2} + \frac{x}{3} \right) \, dx = \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2} \, dx + \int_{0}^{1} \frac{x}{3} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^2 \, dx + \frac{1}{3} \int_{0}^{1} x \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} + \frac{1}{3} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}. \] - 因此，二重积分 $\iint\limits_{D}xy(x+y)d\sigma$ 的值为 $\frac{1}{3}$，它在 $[0, 2]$ 的范围内。 3. **结论：** - 二重积分 $\iint\limits_{D}xy(x+y)d\sigma$ 的取值范围是 $[0, 2]$。 正确答案是 $\boxed{C}$。