若随机变量 X 的分布函数为[ F(x) = } 0, & x < 0 (x^2)/(2), & 0 leq x < 1 2x - (x^2)/(2) - 1, & 1 leq x < 2 1, & x geq 2 ;(2) 求随机变量 X 的密度函数;(3) 求随机变量 Y = 2X - 1 的密度函数.
若随机变量 $X$ 的分布函数为
$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{x^2}{2}, & 0 \leq x < 1 \\ 2x - \frac{x^2}{2} - 1, & 1 \leq x < 2 \\ 1, & x \geq 2 \end{cases}$
(1) 求 $P\left\{\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2}\right\}$;
(2) 求随机变量 $X$ 的密度函数;
(3) 求随机变量 $Y = 2X - 1$ 的密度函数.
题目解答
答案
(1) 由分布函数 $F(x)$，得
$P\left\{\frac{1}{2} < X < \frac{3}{2}\right\} = F\left(\frac{3}{2}\right) - F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{7}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{4}$
答案： $\boxed{\frac{3}{4}}$
(2) 密度函数 $f(x) = F'(x)$，分段求导得
$f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 1 \\ 2 - x, & 1 \leq x < 2 \\ 0, & x \geq 2 \end{cases}$
答案： $\boxed{
\begin{cases} 0, & x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 1 \\ 2 - x, & 1 \leq x < 2 \\ 0, & x \geq 2 \end{cases}
}$
(3) 令 $Y = 2X - 1$，则 $X = \frac{Y + 1}{2}$，密度函数 $g(y) = \frac{1}{2} f\left(\frac{y + 1}{2}\right)$，得
$g(y) = \begin{cases} \frac{y + 1}{4}, & -1 \leq y < 1 \\ \frac{3 - y}{4}, & 1 \leq y < 3 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
答案： $\boxed{
\begin{cases} \frac{y + 1}{4}, & -1 \leq y < 1 \\ \frac{3 - y}{4}, & 1 \leq y < 3 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}
}$