求 f(x,y)=x^2(2+y^2)+yln y的极值.

考查要点：本题主要考查二元函数极值的求解方法，包括一阶偏导数求驻点和二阶偏导数判断极值类型。

解题思路：

1. 求一阶偏导数，联立方程求驻点；
2. 计算二阶偏导数，构造判别式；
3. 代入驻点，利用二阶判别法判断极值类型；
4. 计算极值。

关键点：

• 驻点求解时注意变量范围（如$\ln y$要求$y>0$）；
• 二阶判别法中，判别式$AC - B^2$的符号及$A$的符号决定极值类型。

1. 求一阶偏导数

对$f(x, y) = x^2(2 + y^2) + y \ln y$分别求偏导：

• 对$x$求偏导：
  $f_x = 2x(2 + y^2)$
• 对$y$求偏导：
  $f_y = 2x^2 y + \ln y + 1$

2. 解方程组求驻点

联立方程$f_x = 0$和$f_y = 0$：

• 由$f_x = 0$得：
  $2x(2 + y^2) = 0 \implies x = 0 \quad (\text{因} \ 2 + y^2 > 0)$
• 代入$f_y = 0$得：
  $\ln y + 1 = 0 \implies y = \frac{1}{e}$
  驻点为$\left(0, \frac{1}{e}\right)$。

3. 计算二阶偏导数

• 二阶偏导数：
  $f_{xx} = 2(2 + y^2), \quad f_{xy} = 4xy, \quad f_{yy} = 2x^2 + \frac{1}{y}$

4. 代入驻点计算二阶偏导数值

在$\left(0, \frac{1}{e}\right)$处：

• $A = f_{xx} = 2\left(2 + \frac{1}{e^2}\right)$
• $B = f_{xy} = 0$
• $C = f_{yy} = e$

5. 判别极值

• 判别式：
  $AC - B^2 = 2\left(2 + \frac{1}{e^2}\right) \cdot e > 0, \quad A > 0$
  因此，$\left(0, \frac{1}{e}\right)$为极小值点。

6. 计算极小值

代入原函数：
$f\left(0, \frac{1}{e}\right) = 0 + \frac{1}{e} \ln \frac{1}{e} = -\frac{1}{e}$