当随机变量X的可能值充满区间()时, varphi(x)= cos x 可以是随机变量X的概率密度.A. [0, (pi)/(2)]B. [0, pi]C. [(pi)/(2), pi]D. [(3pi)/(2), (7pi)/(4)]

概率密度函数的两个核心条件：

1. 非负性：在定义区间内，函数值必须非负；
2. 归一性：在定义区间内的积分必须等于1。

本题需逐一验证选项中各区间是否同时满足这两个条件。关键在于分析$\cos x$在不同区间内的符号及积分结果。

选项分析

选项A：$[0, \frac{\pi}{2}]$

• 非负性：$\cos x$在$[0, \frac{\pi}{2}]$内取值从$1$降到$0$，始终非负。
• 归一性：
  $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \sin x \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = 1 - 0 = 1$
  满足条件。

选项B：$[0, \pi]$

• 非负性：当$x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$时，$\cos x \leq 0$，不满足非负性。

选项C：$[\frac{\pi}{2}, \pi]$

• 非负性：$\cos x$在该区间内始终非正，不满足非负性。

选项D：$[\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}]$

• 非负性：$\cos x$在该区间内非负。
• 归一性：
  $\int_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{7\pi}{4}} \cos x \, dx = \sin x \Big|_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{7\pi}{4}} = \sin\frac{7\pi}{4} - \sin\frac{3\pi}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - (-1) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 1$
  不满足归一性。