设A= -1 0 0] 0 -2 1 0 2 0 1 问A能否对角化?若能对角化,求可逆矩阵P,使 -1AP 为对角阵。

步骤 1：计算特征多项式
首先，我们需要计算矩阵A的特征多项式。特征多项式是通过计算矩阵A减去λE的行列式得到的，其中E是单位矩阵，λ是特征值。对于矩阵A，我们有：
$$
A - \lambda E = \left [ \begin{matrix} -1-\lambda & 0 & 0\\ -2 & 1-\lambda & 0\\ 2 & 0 & 1-\lambda\end{matrix} \right ]
$$
计算行列式，我们得到：
$$
|A - \lambda E| = (-1-\lambda)((1-\lambda)(1-\lambda)) = (-1-\lambda)(1-\lambda)^2
$$
步骤 2：求解特征值
接下来，我们需要求解特征多项式等于0的方程，以找到特征值。我们有：
$$
(-1-\lambda)(1-\lambda)^2 = 0
$$
解这个方程，我们得到特征值：
$$
\lambda_1 = -1, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 1
$$
步骤 3：求解特征向量
对于每个特征值，我们需要找到对应的特征向量。对于特征值$\lambda_1 = -1$，我们有：
$$
(A + E)v = 0
$$
解这个方程，我们得到特征向量$v_1 = (1, 0, 0)^T$。
对于特征值$\lambda_2 = 1$，我们有：
$$
(A - E)v = 0
$$
解这个方程，我们得到特征向量$v_2 = (0, 1, 0)^T$和$v_3 = (0, 0, 1)^T$。
步骤 4：构造可逆矩阵P
最后，我们需要构造可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。矩阵P的列向量是特征向量，我们有：
$$
P = \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right ]
$$