题目
1.已知质点的运动方程为: r(t)=3ti+(5-t^2)j-t^3k(m) 。求:(1)t=3s时的速度;(2)1～4s内的平均速度。
1.已知质点的运动方程为: r(t)=3ti+(5-t^2)j-t^3k(m) 。求:(1)t=3s时的速度;(2)1～4s内的平均速度。
题目解答
答案
1.(1)v(3)=3i-6j-27k(m/s)(2) v_1-4=3i-5j-21k(m/s)
解析
步骤 1：求速度
速度是位置矢量对时间的导数。给定质点的运动方程为 r(t)=3ti+(5-t^2)j-t^3k(m)，我们首先对时间t求导，得到速度v(t)。
\[ v(t) = \frac{dr(t)}{dt} = 3i - 2tj - 3t^2k \]
步骤 2：求t=3s时的速度
将t=3代入速度方程中，得到t=3s时的速度。
\[ v(3) = 3i - 2(3)j - 3(3)^2k = 3i - 6j - 27k \]
步骤 3：求1～4s内的平均速度
平均速度是位移除以时间间隔。首先计算1s和4s时的位置矢量，然后求出位移，最后除以时间间隔。
\[ r(1) = 3i + (5-1^2)j - 1^3k = 3i + 4j - k \]
\[ r(4) = 3i + (5-4^2)j - 4^3k = 3i - 11j - 64k \]
\[ \Delta r = r(4) - r(1) = (3i - 11j - 64k) - (3i + 4j - k) = -15j - 63k \]
\[ \Delta t = 4s - 1s = 3s \]
\[ v_{avg} = \frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{-15j - 63k}{3} = -5j - 21k \]
速度是位置矢量对时间的导数。给定质点的运动方程为 r(t)=3ti+(5-t^2)j-t^3k(m)，我们首先对时间t求导，得到速度v(t)。
\[ v(t) = \frac{dr(t)}{dt} = 3i - 2tj - 3t^2k \]
步骤 2：求t=3s时的速度
将t=3代入速度方程中，得到t=3s时的速度。
\[ v(3) = 3i - 2(3)j - 3(3)^2k = 3i - 6j - 27k \]
步骤 3：求1～4s内的平均速度
平均速度是位移除以时间间隔。首先计算1s和4s时的位置矢量，然后求出位移，最后除以时间间隔。
\[ r(1) = 3i + (5-1^2)j - 1^3k = 3i + 4j - k \]
\[ r(4) = 3i + (5-4^2)j - 4^3k = 3i - 11j - 64k \]
\[ \Delta r = r(4) - r(1) = (3i - 11j - 64k) - (3i + 4j - k) = -15j - 63k \]
\[ \Delta t = 4s - 1s = 3s \]
\[ v_{avg} = \frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{-15j - 63k}{3} = -5j - 21k \]