题目
22、 求微分方程 ^n-y=6(e)^x 的通解。
题目解答
答案
解析
步骤 1：求特征方程的根
微分方程 ${y}^{n}-y=6{e}^{x}$ 的特征方程为 ${\lambda }^{2}-1=0$，解得 $\lambda =\pm 1$。因此，齐次方程的通解为 $y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$。
步骤 2：求特解
由于非齐次项为 $6e^x$，且 $e^x$ 是齐次方程的解，因此设特解为 $y_p = Ax e^x$。将 $y_p$ 代入原方程，求出 $A$ 的值。
步骤 3：计算特解
$y_p = Ax e^x$，则 $y_p' = A e^x + Ax e^x$，$y_p'' = A e^x + A e^x + Ax e^x = 2A e^x + Ax e^x$。将 $y_p''$ 和 $y_p$ 代入原方程，得到 $2A e^x + Ax e^x - Ax e^x = 6e^x$，即 $2A e^x = 6e^x$，解得 $A = 3$。因此，特解为 $y_p = 3x e^x$。
步骤 4：求通解
通解为齐次方程的通解加上特解，即 $y = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + 3x e^x$。
微分方程 ${y}^{n}-y=6{e}^{x}$ 的特征方程为 ${\lambda }^{2}-1=0$，解得 $\lambda =\pm 1$。因此，齐次方程的通解为 $y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$。
步骤 2：求特解
由于非齐次项为 $6e^x$，且 $e^x$ 是齐次方程的解，因此设特解为 $y_p = Ax e^x$。将 $y_p$ 代入原方程，求出 $A$ 的值。
步骤 3：计算特解
$y_p = Ax e^x$，则 $y_p' = A e^x + Ax e^x$，$y_p'' = A e^x + A e^x + Ax e^x = 2A e^x + Ax e^x$。将 $y_p''$ 和 $y_p$ 代入原方程，得到 $2A e^x + Ax e^x - Ax e^x = 6e^x$，即 $2A e^x = 6e^x$，解得 $A = 3$。因此，特解为 $y_p = 3x e^x$。
步骤 4：求通解
通解为齐次方程的通解加上特解，即 $y = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + 3x e^x$。