随机地取两个正数x和y，这两个数中的每一个都不超过1，试求x与y之和不超过1，积不小于0.09的概率.

考查要点：本题主要考查几何概率的计算，涉及线性不等式与二次不等式的交集区域面积求解。

解题核心思路：

1. 确定样本空间：两个变量$x$和$y$均在$[0,1]$范围内，对应单位正方形区域，面积为1。
2. 条件转化：
   • $x + y \leq 1$ 对应直角三角形区域，面积为$\frac{1}{2}$。
   • $xy \geq 0.09$ 对应双曲线$xy=0.09$上方区域。
3. 求交集区域：找到双曲线与直线$x+y=1$的交点，计算满足条件的区域面积。
4. 积分计算：通过积分求出交集区域的面积，最终得到概率。

破题关键点：

• 联立方程求交点，确定积分上下限。
• 对称性简化计算，利用$x$和$y$的对称性减少计算量。

1. 确定交点：
   联立$x + y = 1$和$xy = 0.09$，解得$x = 0.1$或$x = 0.9$，对应交点$(0.1, 0.9)$和$(0.9, 0.1)$。

2. 积分区间与表达式：
   在$x \in [0.1, 0.9]$范围内，满足条件的$y$范围为$\frac{0.09}{x} \leq y \leq 1 - x$。
   面积计算为：
   $A = \int_{0.1}^{0.9} \left( (1 - x) - \frac{0.09}{x} \right) dx$

3. 分步积分：

   • 第一部分：$\int_{0.1}^{0.9} 1 \, dx = 0.8$
   • 第二部分：$\int_{0.1}^{0.9} x \, dx = 0.4$
   • 第三部分：$0.09 \int_{0.1}^{0.9} \frac{1}{x} dx = 0.09 \ln 9 \approx 0.1977$
   • 总面积：$A = 0.8 - 0.4 - 0.1977 \approx 0.2023$，四舍五入得$0.2$。