lim_(x arrow infty ) xsin (1)/(x) =_____。

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是利用变量替换和等价无穷小进行化简的能力，以及对基本极限形式的掌握。

解题核心思路：当$x \rightarrow \infty$时，$\frac{1}{x} \rightarrow 0$，此时$\sin \frac{1}{x}$可以用等价无穷小$\frac{1}{x}$近似替换。通过变量替换或洛必达法则，将原式转化为已知极限形式求解。

破题关键点：

1. 变量替换：令$t = \frac{1}{x}$，将极限转化为关于$t \rightarrow 0$的形式。
2. 等价无穷小：利用$\sin t \sim t$（当$t \rightarrow 0$时）简化表达式。
3. 基本极限公式：$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{t} = 1$。

步骤1：变量替换
令$t = \frac{1}{x}$，当$x \rightarrow \infty$时，$t \rightarrow 0$。原式可改写为：
$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{t}$

步骤2：应用基本极限公式
根据已知极限$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{t} = 1$，直接得出结果：
$\lim_{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{1}{x} = 1$

验证方法（洛必达法则）
原式可看作$\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$，当$x \rightarrow \infty$时为$\frac{0}{0}$型不定式。对分子分母分别求导：
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\cos \frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \cos \frac{1}{x} = \cos 0 = 1$