题目
设_(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)独立同分布，服从分布_(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4) ，记_(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)，则 _(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)的密度函数_(1),(X)_(2),(X)_(3),(X)_(4)
设
独立同分布，服从分布
，记
，则 
的密度函数
题目解答
答案
；
因此
。
代入
，
可得 的密度函数
解析
步骤 1：确定分布函数
由于$X_1, X_2, X_3, X_4$独立同分布，且服从均匀分布$U(1,3)$，则$Y=max(X_1,X_2,X_3,X_4)$的分布函数$F_Y(y)$可以表示为$F_Y(y) = P(Y < y) = P(max(X_1,X_2,X_3,X_4) < y)$。由于$X_i$独立，所以$F_Y(y) = P(X_1 < y)P(X_2 < y)P(X_3 < y)P(X_4 < y) = F_X(y)^4$，其中$F_X(y)$是$X_i$的分布函数。
步骤 2：计算分布函数
$X_i$的分布函数$F_X(y)$为$F_X(y) = \frac{y-1}{2}$，当$1 < y < 3$时，$F_X(y) = 0$，当$y \leq 1$时，$F_X(y) = 1$，当$y \geq 3$时。因此，$F_Y(y) = \left(\frac{y-1}{2}\right)^4$，当$1 < y < 3$时，$F_Y(y) = 0$，当$y \leq 1$时，$F_Y(y) = 1$，当$y \geq 3$时。
步骤 3：计算密度函数
$Y$的密度函数$f_Y(y)$是$F_Y(y)$的导数，即$f_Y(y) = \frac{d}{dy}F_Y(y)$。当$1 < y < 3$时，$f_Y(y) = \frac{d}{dy}\left(\frac{y-1}{2}\right)^4 = 4\left(\frac{y-1}{2}\right)^3\frac{1}{2} = \frac{(y-1)^3}{4}$。当$y \leq 1$或$y \geq 3$时，$f_Y(y) = 0$。
由于$X_1, X_2, X_3, X_4$独立同分布，且服从均匀分布$U(1,3)$，则$Y=max(X_1,X_2,X_3,X_4)$的分布函数$F_Y(y)$可以表示为$F_Y(y) = P(Y < y) = P(max(X_1,X_2,X_3,X_4) < y)$。由于$X_i$独立，所以$F_Y(y) = P(X_1 < y)P(X_2 < y)P(X_3 < y)P(X_4 < y) = F_X(y)^4$，其中$F_X(y)$是$X_i$的分布函数。
步骤 2：计算分布函数
$X_i$的分布函数$F_X(y)$为$F_X(y) = \frac{y-1}{2}$，当$1 < y < 3$时，$F_X(y) = 0$，当$y \leq 1$时，$F_X(y) = 1$，当$y \geq 3$时。因此，$F_Y(y) = \left(\frac{y-1}{2}\right)^4$，当$1 < y < 3$时，$F_Y(y) = 0$，当$y \leq 1$时，$F_Y(y) = 1$，当$y \geq 3$时。
步骤 3：计算密度函数
$Y$的密度函数$f_Y(y)$是$F_Y(y)$的导数，即$f_Y(y) = \frac{d}{dy}F_Y(y)$。当$1 < y < 3$时，$f_Y(y) = \frac{d}{dy}\left(\frac{y-1}{2}\right)^4 = 4\left(\frac{y-1}{2}\right)^3\frac{1}{2} = \frac{(y-1)^3}{4}$。当$y \leq 1$或$y \geq 3$时，$f_Y(y) = 0$。