题目
10.0分)平面图形由曲线^2=2y与直线^2=2y所围成,则该平面图形绕^2=2y轴旋转一周所得的旋转体的体积^2=2y^2=2y^2=2y^2=2y^2=2y
10.0分)平面图形由曲线
与直线
所围成,则该平面图形绕
轴旋转一周所得的旋转体的体积
题目解答
答案
故选A
解析
步骤 1：确定旋转体的体积公式
旋转体的体积可以通过旋转体的体积公式计算，即$V=\pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$，其中$f(x)$是旋转轴的函数，$a$和$b$是旋转体的边界。
步骤 2：确定旋转体的边界
曲线${x}^{2}=2y$与直线y=x的交点是旋转体的边界。解方程组${x}^{2}=2y$和$y=x$，得到$x=0$和$x=2$，因此旋转体的边界是$x=0$和$x=2$。
步骤 3：计算旋转体的体积
将$f(x)=x$和$f(x)=\frac{x^2}{2}$代入旋转体的体积公式，得到$V=\pi \int_{0}^{2} x^2 dx - \pi \int_{0}^{2} (\frac{x^2}{2})^2 dx$。
步骤 4：计算积分
计算积分$\int_{0}^{2} x^2 dx$和$\int_{0}^{2} (\frac{x^2}{2})^2 dx$，得到$\int_{0}^{2} x^2 dx = \frac{8}{3}$和$\int_{0}^{2} (\frac{x^2}{2})^2 dx = \frac{8}{5}$。
步骤 5：计算旋转体的体积
将积分结果代入旋转体的体积公式，得到$V=\pi \int_{0}^{2} x^2 dx - \pi \int_{0}^{2} (\frac{x^2}{2})^2 dx = \pi (\frac{8}{3} - \frac{8}{5}) = \frac{16\pi}{15}$。
旋转体的体积可以通过旋转体的体积公式计算，即$V=\pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$，其中$f(x)$是旋转轴的函数，$a$和$b$是旋转体的边界。
步骤 2：确定旋转体的边界
曲线${x}^{2}=2y$与直线y=x的交点是旋转体的边界。解方程组${x}^{2}=2y$和$y=x$，得到$x=0$和$x=2$，因此旋转体的边界是$x=0$和$x=2$。
步骤 3：计算旋转体的体积
将$f(x)=x$和$f(x)=\frac{x^2}{2}$代入旋转体的体积公式，得到$V=\pi \int_{0}^{2} x^2 dx - \pi \int_{0}^{2} (\frac{x^2}{2})^2 dx$。
步骤 4：计算积分
计算积分$\int_{0}^{2} x^2 dx$和$\int_{0}^{2} (\frac{x^2}{2})^2 dx$，得到$\int_{0}^{2} x^2 dx = \frac{8}{3}$和$\int_{0}^{2} (\frac{x^2}{2})^2 dx = \frac{8}{5}$。
步骤 5：计算旋转体的体积
将积分结果代入旋转体的体积公式，得到$V=\pi \int_{0}^{2} x^2 dx - \pi \int_{0}^{2} (\frac{x^2}{2})^2 dx = \pi (\frac{8}{3} - \frac{8}{5}) = \frac{16\pi}{15}$。