题目
已知正数a，b满足(1)/(a)+(1)/(b)=2，则(3)/((b+1))-a的最大值为 ____ ．
已知正数a，b满足$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$，则$\frac{3}{{b+1}}-a$的最大值为 ____ ．
题目解答
答案
解：因为$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$，所以a+b=2ab，
当a=$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{b}=0$，不符合题意，
所以$b=\frac{a}{2a-1}(a＞\frac{1}{2})$，
则$\frac{3}{{b+1}}-a$=$\frac{3}{\frac{a}{2a-1}+1}-a=2-(\frac{1}{3a-1}+\frac{3a-1}{3})$$-\frac{1}{3}$，
因为a＞$\frac{1}{2}$,则a＞$\frac{1}{3}$，所以3a-1＞0，
则$\frac{1}{3a-1}+\frac{3a-1}{3}≥2\sqrt{\frac{1}{3a-1}•\frac{3a-1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
当且仅当$\frac{1}{3a-1}=\frac{3a-1}{3}$，即$a=\frac{1+\sqrt{3}}{3}$时取等号，
所以$2-(\frac{1}{3a-1}+\frac{3a-1}{3})-\frac{1}{3}≤2-\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{3}=\frac{5-2\sqrt{3}}{3}$,
则$\frac{3}{{b+1}}-a$的最大值为$\frac{5-2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{5-2\sqrt{3}}{3}$．
当a=$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{b}=0$，不符合题意，
所以$b=\frac{a}{2a-1}(a＞\frac{1}{2})$，
则$\frac{3}{{b+1}}-a$=$\frac{3}{\frac{a}{2a-1}+1}-a=2-(\frac{1}{3a-1}+\frac{3a-1}{3})$$-\frac{1}{3}$，
因为a＞$\frac{1}{2}$,则a＞$\frac{1}{3}$，所以3a-1＞0，
则$\frac{1}{3a-1}+\frac{3a-1}{3}≥2\sqrt{\frac{1}{3a-1}•\frac{3a-1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
当且仅当$\frac{1}{3a-1}=\frac{3a-1}{3}$，即$a=\frac{1+\sqrt{3}}{3}$时取等号，
所以$2-(\frac{1}{3a-1}+\frac{3a-1}{3})-\frac{1}{3}≤2-\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{3}=\frac{5-2\sqrt{3}}{3}$,
则$\frac{3}{{b+1}}-a$的最大值为$\frac{5-2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{5-2\sqrt{3}}{3}$．