试用A表示一个沿z方向的均匀恒定磁场B0，写出A的两种不同表示式，证明两者之差是无旋场。

步骤 1：定义磁场和矢势
磁场B沿z方向，且为均匀恒定磁场，即${B}_{x}={B}_{y}=0$，${B}_{z}={B}_{0}$。矢势A与磁场B的关系为$B=\nabla \times A$。
步骤 2：求解矢势A的第一种表示式
根据$B=\nabla \times A$，有$\dfrac {\partial {A}_{y}}{\partial x}-\dfrac {\partial {A}_{x}}{\partial y}={B}_{z}={B}_{0}$，$\dfrac {\partial {A}_{z}}{\partial y}-\dfrac {\partial {A}_{y}}{\partial z}=0$，$\dfrac {\partial {A}_{x}}{\partial z}-\dfrac {\partial {A}_{z}}{\partial x}=0$。由此可得${A}_{z}={A}_{y}=0$，${A}_{x}=-{B}_{0}y+f(x)$，其中$f(x)$是任意函数。
步骤 3：求解矢势A的第二种表示式
根据$B=\nabla \times A$，有$\dfrac {\partial {A}_{y}}{\partial x}-\dfrac {\partial {A}_{x}}{\partial y}={B}_{z}={B}_{0}$，$\dfrac {\partial {A}_{z}}{\partial y}-\dfrac {\partial {A}_{y}}{\partial z}=0$，$\dfrac {\partial {A}_{x}}{\partial z}-\dfrac {\partial {A}_{z}}{\partial x}=0$。由此可得${A}_{z}={A}_{x}=0$，${A}_{y}={B}_{0}x+g(y)$，其中$g(y)$是任意函数。
步骤 4：证明两者之差是无旋场
${A}_{1}=[ -{B}_{0}y+f(x)] {e}_{x}$，${A}_{2}=[ {B}_{0}x+g(y)] {e}_{y}$，$\Delta A={A}_{1}-{A}_{2}=[ -{B}_{0}y+f(x)] {e}_{x}-[ {B}_{0}x+g(y)] {e}_{y}$。$\nabla \times \Delta A=\nabla \times [ -{B}_{0}y+f(x)] {e}_{x}-\nabla \times [ {B}_{0}x+g(y)] {e}_{y}=0$，说明两者之差是无旋场。