题目
高等数学 问题求解有一平面薄片占有xoy面 区域D=｛(x,y)丨x²+y²≤2x｝，在点(x,y)处的面密度为u(x,y)=(x+y)²+2(利用二重积分)，求薄片质量。
高等数学 问题求解
有一平面薄片占有xoy面 区域D=｛(x,y)丨x²+y²≤2x｝，在点(x,y)处的面密度为u(x,y)=(x+y)²+2(利用二重积分)，求薄片质量。
有一平面薄片占有xoy面 区域D=｛(x,y)丨x²+y²≤2x｝，在点(x,y)处的面密度为u(x,y)=(x+y)²+2(利用二重积分)，求薄片质量。
题目解答
答案
其中(*)式中，第一项是将直角坐标系化为极坐标系；第二项是因为区域D关于x轴对称，而被积函数2xy关于y是奇函数；第三项是根据1的积分等于区域的面积。
解析
步骤 1：确定积分区域
区域D由不等式x²+y²≤2x定义，可以改写为(x-1)²+y²≤1，这是一个以(1,0)为圆心，半径为1的圆。
步骤 2：将面密度函数转换为极坐标形式
在极坐标系中，x=ρcosθ，y=ρsinθ，因此面密度函数u(x,y)=(x+y)²+2可以写为u(ρ,θ)=(ρcosθ+ρsinθ)²+2。
步骤 3：计算二重积分
将面密度函数转换为极坐标形式后，可以计算二重积分以求得薄片的质量。二重积分的计算需要考虑极坐标系下的面积元素dA=ρdρdθ。
步骤 4：计算积分
将面密度函数和面积元素代入二重积分，计算积分以求得薄片的质量。
区域D由不等式x²+y²≤2x定义，可以改写为(x-1)²+y²≤1，这是一个以(1,0)为圆心，半径为1的圆。
步骤 2：将面密度函数转换为极坐标形式
在极坐标系中，x=ρcosθ，y=ρsinθ，因此面密度函数u(x,y)=(x+y)²+2可以写为u(ρ,θ)=(ρcosθ+ρsinθ)²+2。
步骤 3：计算二重积分
将面密度函数转换为极坐标形式后，可以计算二重积分以求得薄片的质量。二重积分的计算需要考虑极坐标系下的面积元素dA=ρdρdθ。
步骤 4：计算积分
将面密度函数和面积元素代入二重积分，计算积分以求得薄片的质量。