题目

7.设A，BsubsetR^n，且m^*B<infty.若A是可测集，证明：m^*(Acup B)=mA+m^*B-m^*(Acap B).

7.设A，B$\subset$R$^n$，且$m^*B<\infty$.若A是可测集，证明： $m^*(A\cup B)=mA+m^*B-m^*(A\cap B).$

题目解答

答案

设 $A, B \subset \mathbb{R}^n$，且 $m^*B < \infty$。若 $A$ 可测，则由 Carathéodory 条件，对任意集合 $E$，有
$m^*E = m^*(E \cap A) + m^*(E \cap A^c).$
取 $E = A \cup B$，得
$m^*(A \cup B) = m^*((A \cup B) \cap A) + m^*((A \cup B) \cap A^c) = m^*A + m^*(B \cap A^c).$
由于 $A$ 可测，$mA = m^*A$，且
$m^*B = m^*(B \cap A) + m^*(B \cap A^c),$
代入得
$m^*(B \cap A^c) = m^*B - m^*(B \cap A).$
因此，
$m^*(A \cup B) = mA + m^*B - m^*(A \cap B).$
结论：
$\boxed{m^*(A \cup B) = mA + m^*B - m^*(A \cap B)}$

解析

本题考查勒贝格测度的性质以及可测集的卡拉西奥多里（Carathéodory）条件的应用。解题的关键思路是利用可测集的卡拉西奥多里条件，结合集合的运算性质，逐步推导得出$m^*(A\cup B)=mA + m^*B - m^*(A\cap B)$。

  1. 利用可测集的卡拉西奥多里条件：
    • 已知$A$是可测集，根据卡拉西奥多里条件，对于任意集合$E$，都有$m^*E = m^*(E \cap A) + m^*(E \cap A^c)$。
    • 这里我们取$E = A \cup B$，将其代入上述公式可得：
      $m^*(A \cup B) = m^*((A \cup B) \cap A) + m^*((A \cup B) \cap A^c)$
    • 根据集合的交运算性质$(A \cup B) \cap A = A$，所以$m^*((A \cup B) \cap A)=m^*A$。
    • 又因为$(A \cup B) \cap A^c=(A\cap A^c)\cup (B\cap A^c)=\varnothing\cup (B\cap A^c)=B\cap A^c$，所以$m^*((A \cup B) \cap A^c)=m^*(B \cap A^c)$。
    • 综上，$m^*(A \cup B) = m^*A + m^*(B \cap A^c)$。
  2. 再次利用卡拉西奥多里条件：
    • 因为$A$是可测集，对于集合$B$，根据卡拉西奥多里条件有$m^*B = m^*(B \cap A) + m^*(B \cap A^c)$。
    • 通过移项可得$m^*(B \cap A^c) = m^*B - m^*(B \cap A)$。
  3. 得出最终结论：
    • 将$m^*(B \cap A^c) = m^*B - m^*(B \cap A)$代入$m^*(A \cup B) = m^*A + m^*(B \cap A^c)$中。
    • 又因为$A$可测，所以$mA = m^*A$，且$B \cap A = A \cap B$，则可得$m^*(A \cup B) = mA + m^*B - m^*(A \cap B)$。