6. 讨论方程 ln x=ax, (其中 gt 0 )有几个实根?

步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x) = \ln x - ax$，其中 $a > 0$。我们需要讨论方程 $\ln x = ax$ 的实根个数，即求解 $f(x) = 0$ 的实根个数。

步骤 2：求导数
求 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$，以确定函数的单调性。
$$
f'(x) = \frac{1}{x} - a
$$

步骤 3：分析导数的符号
分析 $f'(x)$ 的符号，以确定 $f(x)$ 的单调性。
- 当 $x > \frac{1}{a}$ 时，$f'(x) < 0$，$f(x)$ 单调递减。
- 当 $0 < x < \frac{1}{a}$ 时，$f'(x) > 0$，$f(x)$ 单调递增。
- 当 $x = \frac{1}{a}$ 时，$f'(x) = 0$，$f(x)$ 取得极大值。

步骤 4：求极大值
求 $f(x)$ 在 $x = \frac{1}{a}$ 处的极大值。
$$
f\left(\frac{1}{a}\right) = \ln\left(\frac{1}{a}\right) - a\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln a - 1
$$

步骤 5：讨论极大值的符号
根据极大值的符号，讨论方程 $\ln x = ax$ 的实根个数。
- 当 $-\ln a - 1 > 0$，即 $a < \frac{1}{e}$ 时，$f(x)$ 在 $x = \frac{1}{a}$ 处取得正极大值，且 $f(x)$ 在 $x \to 0^+$ 和 $x \to +\infty$ 时分别趋于 $-\infty$ 和 $-\infty$，因此方程有两个实根。
- 当 $-\ln a - 1 = 0$，即 $a = \frac{1}{e}$ 时，$f(x)$ 在 $x = \frac{1}{a}$ 处取得零极大值，因此方程有一个实根。
- 当 $-\ln a - 1 < 0$，即 $a > \frac{1}{e}$ 时，$f(x)$ 在 $x = \frac{1}{a}$ 处取得负极大值，因此方程没有实根。