【题目】设函数 y=1/(2x+3) ，则 y^((n))(0)=.

考查要点：本题主要考查分式函数的高阶导数求解，以及复合函数求导法则的应用。

解题核心思路：

1. 识别函数结构：将函数 $y = \frac{1}{2x+3}$ 看作复合函数 $f(ax + b)$，其中 $f(u) = \frac{1}{u}$，$a=2$，$b=3$。
2. 应用高阶导数公式：利用已知公式 $[f(ax + b)]^{(n)} = a^n f^{(n)}(ax + b)$，结合 $\frac{1}{u}$ 的高阶导数形式 $\frac{(-1)^n n!}{u^{n+1}}$，推导出结果。
3. 代入特定点：将 $x=0$ 代入高阶导数表达式，化简得到最终结果。

破题关键点：

• 公式选择：正确选择分式函数和复合函数的高阶导数公式。
• 符号与指数处理：注意负号、系数 $2$ 的幂次以及分母 $(2x+3)$ 的幂次变化。

步骤1：确定函数形式

将 $y = \frac{1}{2x+3}$ 表示为复合函数形式 $f(2x + 3)$，其中 $f(u) = \frac{1}{u}$。

步骤2：应用复合函数高阶导数公式

根据公式 $[f(ax + b)]^{(n)} = a^n f^{(n)}(ax + b)$，得：
$y^{(n)} = 2^n \cdot f^{(n)}(2x + 3)$

步骤3：求 $f(u)$ 的n阶导数

已知 $f(u) = \frac{1}{u}$ 的n阶导数为：
$f^{(n)}(u) = \frac{(-1)^n n!}{u^{n+1}}$

步骤4：代入复合函数形式

将 $u = 2x + 3$ 代入，得：
$y^{(n)} = 2^n \cdot \frac{(-1)^n n!}{(2x + 3)^{n+1}}$

步骤5：代入 $x=0$

$y^{(n)}(0) = 2^n \cdot \frac{(-1)^n n!}{(2 \cdot 0 + 3)^{n+1}} = \frac{(-1)^n 2^n n!}{3^{n+1}}$