题目
14.如果n阶方阵A的各行元素之和均为0,且 (A)=n-1, 则线性方程组 Ax=0-|||-的通解为 __ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定方程组的解空间
由于矩阵A的各行元素之和均为0，可以推断出向量ξ = (1, 1, ..., 1)^T 是方程组 Ax=0 的一个解。这是因为将ξ代入方程组中，每一行的元素之和为0，所以Aξ=0。
步骤 2：确定解空间的维度
根据题设，矩阵A的秩R(A) = n-1，这意味着方程组Ax=0的解空间的维度为n-R(A) = n-(n-1) = 1。因此，方程组Ax=0的解空间是一维的。
步骤 3：确定通解
由于解空间是一维的，且已知ξ = (1, 1, ..., 1)^T 是方程组Ax=0的一个解，所以方程组Ax=0的通解可以表示为x = kξ，其中k为任意常数。
由于矩阵A的各行元素之和均为0，可以推断出向量ξ = (1, 1, ..., 1)^T 是方程组 Ax=0 的一个解。这是因为将ξ代入方程组中，每一行的元素之和为0，所以Aξ=0。
步骤 2：确定解空间的维度
根据题设，矩阵A的秩R(A) = n-1，这意味着方程组Ax=0的解空间的维度为n-R(A) = n-(n-1) = 1。因此，方程组Ax=0的解空间是一维的。
步骤 3：确定通解
由于解空间是一维的，且已知ξ = (1, 1, ..., 1)^T 是方程组Ax=0的一个解，所以方程组Ax=0的通解可以表示为x = kξ，其中k为任意常数。