题目

1.设离散型随机变量X分布律为PX=k=5A(1/2)^k (k=1,2,...), 则A=_____.

1.设离散型随机变量X分布律为 $P\{X=k\}=5A(1/2)^{k} (k=1,2,\cdots),$ 则A=_____.

题目解答

答案

根据离散型随机变量分布列的性质，所有概率之和等于1。已知分布律为 $P\{X=k\} = 5A \left(\frac{1}{2}\right)^k$（$k=1,2,\cdots$），则 \[ \sum_{k=1}^{\infty} 5A \left(\frac{1}{2}\right)^k = 1. \] 提取常数 $5A$，得 \[ 5A \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = 1. \] 等比级数 $\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k$ 的和为 \[ \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1. \] 因此， \[ 5A \cdot 1 = 1 \implies A = \frac{1}{5}. \] 答案：$\boxed{\frac{1}{5}}$

解析

考查要点：本题主要考查离散型随机变量分布律的性质，即所有可能取值的概率之和等于1，以及等比数列求和公式的应用。

解题核心思路：
根据分布律的性质，将所有概率相加等于1，得到关于A的方程。题目中的概率表达式为等比数列形式，需利用等比数列求和公式求解。

破题关键点：

  1. 识别等比数列结构：概率表达式中的$(1/2)^k$是公比为$1/2$的等比数列。
  2. 正确应用求和公式：注意求和起始项为$k=1$，需调整首项代入公式。

根据离散型随机变量分布律的性质，所有概率之和为1：

$\sum_{k=1}^{\infty} P\{X=k\} = \sum_{k=1}^{\infty} 5A \left(\frac{1}{2}\right)^k = 1.$

步骤1：提取常数项
将常数$5A$提出，得到：
$5A \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = 1.$

步骤2：计算等比数列和
等比数列$\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k$的首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$，其和为：
$\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1.$

步骤3：解方程求A
代入得：
$5A \cdot 1 = 1 \implies A = \frac{1}{5}.$