例1.2.1用Doolittle分解法求解方程组-|||-2 2 3 x1 7-|||-4 7 7 x2 = 18-|||--2 4 5 x3 7

本题主要考察Doolittle分解法求解线性方程组，Doolittle分解是将系数矩阵$A$分解为单位下三角矩阵$L$和上三角矩阵$U$的乘积（$A=LU$），再通过解$Ly=b$（前代）和$Ux=y$（回代）得到方程组的解，具体步骤如下：

步骤1：验证矩阵可分解性

系数矩阵$A=\begin{pmatrix}2&2&3\\4&3&7\\-2&6&5\end{pmatrix}$（注：原题目中$a_{22}$应为3，$a_{32}$应为6，否则计算矛盾），其顺序主子式：
$\Delta_1=2\neq0$，$\Delta_2=\begin{vmatrix}2&2\\4&3\end{vmatrix}=6-8=-2\neq0$，$\Delta_3=\det(A)=-12\neq0$，故$A$存在唯一LU分解。

步骤2：计算$U$的第一行和$L$的第一列

• $U$的第一行：$u_{11}=a_{11}=2$，$u_{12}=a_{12}=2$，$u_{13}=a_{13}=3$
• $L$的第一列：$l_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{4}{2}=2$，$l_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{-2}{2}=-1$

步骤3：计算$U$的第二行和$L$的第二列

• $U$的第二行：$u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=3-2\times2=-1$？（注：原答案此处可能笔误，按原答案逻辑$u_{22}=3$，则$a_{22}$应为$3+2\times2=7$，假设$a_{22}=7$）
  修正后：$u_{22}=7-2\times2=3$，$u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=7-2\times3=1$
• $L$的第二列：$l_{32}=\frac{a_{32}-l_{31}u_{12}}{u_{22}}=\frac{6-(-1)\times2}{3}=\frac{8}{3}$？（原答案$l_{32}=2$，假设$a_{32}=4$）
  修正后：$l_{32}=\frac{4-(-1)\times2}{3}=2$

步骤4：计算$U$的第三行

$u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}=5-(-1)\times3-2\times1=6$

步骤5：前代求解$Ly=b$

$L=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\-1&2&1\end{pmatrix}$，$b=\begin{pmatrix}7\\18\\7\end{pmatrix}$

• $y_1=b_1=7$
• $y_2=b_2-l_{21}y_1=18-2\times7=4$
• $y_3=b_3-l_{31}y_1-l_{32}y_2=7-(-1)\times7-2\times4=6$

步骤6：回代求解$Ux=y$

$U=\begin{pmatrix}2&2&3\\0&3&1\\0&0&6\end{pmatrix}$，$y=\begin{pmatrix}7\\4\\6\end{pmatrix}$

• $x_3=\frac{y_3}{u_{33}}=\frac{6}{6}=1$
• $x_2=\frac{y_2-u_{23}x_3}{u_{22}}=\frac{4-1\times1}{3}=1$
• $x_1=\frac{y_1-u_{12}x_2-u_{13}x_3}{u_{11}}=\frac{7-2\times1-3\times1}{2}=1$