求表面积为a^2而体积为最大的长方体的体积.

考查要点：本题主要考查条件极值问题的求解方法，特别是利用拉格朗日乘数法解决几何优化问题的能力。需要学生掌握长方体表面积和体积的公式，并能将实际问题转化为数学模型。

解题核心思路：

1. 建立约束条件：表面积固定为$a^2$，即$2(xy + yz + xz) = a^2$。
2. 构造目标函数：体积$V = xyz$需要在此约束下最大化。
3. 应用拉格朗日乘数法：通过求偏导联立方程，找到可能的极值点。
4. 对称性分析：通过方程的对称性推断长方体为正方体时体积最大。

破题关键点：

• 对称性假设：通过联立方程发现$x = y = z$，即体积最大的长方体是正方体。
• 代数运算：将对称性代入约束条件，求出棱长并计算体积。

步骤1：设定变量与约束条件
设长方体的棱长为$x, y, z$，表面积约束为：
$2(xy + yz + xz) = a^2.$
目标函数为体积：
$V = xyz.$

步骤2：构造拉格朗日函数
引入拉格朗日乘子$\lambda$，构造函数：
$L(x, y, z, \lambda) = xyz + \lambda(2xy + 2yz + 2xz - a^2).$

步骤3：求偏导并联立方程
对$x, y, z$分别求偏导并令其为零：
$\begin{cases}\frac{\partial L}{\partial x} = yz + \lambda(2y + 2z) = 0, \\\frac{\partial L}{\partial y} = xz + \lambda(2x + 2z) = 0, \\\frac{\partial L}{\partial z} = xy + \lambda(2x + 2y) = 0.\end{cases}$

步骤4：分析方程对称性
通过比较前两个方程，可得：
$\frac{x}{y} = \frac{x + z}{y + z}, \quad \frac{y}{z} = \frac{x + y}{x + z}.$
解得$x = y = z$，即长方体为正方体。

步骤5：代入约束条件求棱长
设$x = y = z$，代入表面积公式：
$2(3x^2) = a^2 \implies x = \frac{\sqrt{6}}{6}a.$

步骤6：计算最大体积
体积为：
$V = x^3 = \left(\frac{\sqrt{6}}{6}a\right)^3 = \frac{\sqrt{6}}{36}a^3.$