题目
设y=y(x)是微分方程y=y(x)满足初始条件y=y(x)的解，则y=y(x)
设
是微分方程
满足初始条件
的解，则
题目解答
答案
为任意常数，
，∵，∴
，∴
，∴
，∴原式
解析
步骤 1：求解微分方程
给定微分方程为 $\dfrac {dy}{y}=\dfrac {1-x}{x}dx$，我们首先分离变量，得到 $\dfrac {dy}{y}=(\dfrac {1}{x}-1)dx$。对两边积分，得到 $\ln y=\ln x-x+\ln c$，其中 $c$ 为积分常数。因此，$y=cx{e}^{-x}$。
步骤 2：确定积分常数
根据初始条件 $y(1)=1$，代入 $y=cx{e}^{-x}$，得到 $1=c{e}^{-1}$，从而 $c=e$。因此，$y=ex{e}^{-x}$。
步骤 3：计算积分
计算 ${\int }_{0}^{1}y(x)dx$，即 ${\int }_{0}^{1}ex{e}^{-x}dx$。使用分部积分法，设 $u=x$，$dv=e^{-x}dx$，则 $du=dx$，$v=-e^{-x}$。因此，${\int }_{0}^{1}ex{e}^{-x}dx=e[-xe^{-x}]_{0}^{1}+e{\int }_{0}^{1}e^{-x}dx=e[-e^{-1}+1-e^{-1}]=e-2$。
步骤 4：计算最终结果
根据题目要求，计算 $\dfrac {{\int }_{0}^{1}y(x)dx}{2(e-2)}$，即 $\dfrac {e-2}{2(e-2)}=\dfrac {1}{2}$。
给定微分方程为 $\dfrac {dy}{y}=\dfrac {1-x}{x}dx$，我们首先分离变量，得到 $\dfrac {dy}{y}=(\dfrac {1}{x}-1)dx$。对两边积分，得到 $\ln y=\ln x-x+\ln c$，其中 $c$ 为积分常数。因此，$y=cx{e}^{-x}$。
步骤 2：确定积分常数
根据初始条件 $y(1)=1$，代入 $y=cx{e}^{-x}$，得到 $1=c{e}^{-1}$，从而 $c=e$。因此，$y=ex{e}^{-x}$。
步骤 3：计算积分
计算 ${\int }_{0}^{1}y(x)dx$，即 ${\int }_{0}^{1}ex{e}^{-x}dx$。使用分部积分法，设 $u=x$，$dv=e^{-x}dx$，则 $du=dx$，$v=-e^{-x}$。因此，${\int }_{0}^{1}ex{e}^{-x}dx=e[-xe^{-x}]_{0}^{1}+e{\int }_{0}^{1}e^{-x}dx=e[-e^{-1}+1-e^{-1}]=e-2$。
步骤 4：计算最终结果
根据题目要求，计算 $\dfrac {{\int }_{0}^{1}y(x)dx}{2(e-2)}$，即 $\dfrac {e-2}{2(e-2)}=\dfrac {1}{2}$。