求下列不定积分int ln (x+sqrt (1+{x)^2})dx

步骤 1：变量代换
令 $t = x + \sqrt{1 + x^2}$，则 $dt = (1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}})dx$。
步骤 2：积分转换
将 $t$ 和 $dt$ 代入原积分，得到 $\int \ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})dx = \int \ln t \cdot \frac{dt}{1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}}$。
步骤 3：简化积分
由于 $t = x + \sqrt{1 + x^2}$，则 $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{t - \sqrt{1 + x^2}}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{t}{\sqrt{1 + x^2}} - 1$，所以 $1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{t}{\sqrt{1 + x^2}}$。
步骤 4：积分计算
$\int \ln t \cdot \frac{dt}{1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}} = \int \ln t \cdot \frac{\sqrt{1 + x^2}}{t} dt = \int \ln t dt$。
步骤 5：分部积分
使用分部积分法，设 $u = \ln t$，$dv = dt$，则 $du = \frac{1}{t} dt$，$v = t$。
步骤 6：计算分部积分
$\int \ln t dt = t \ln t - \int t \cdot \frac{1}{t} dt = t \ln t - t + C$。
步骤 7：回代变量
将 $t = x + \sqrt{1 + x^2}$ 回代，得到 $\int \ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})dx = (x + \sqrt{1 + x^2}) \ln (x + \sqrt{1 + x^2}) - (x + \sqrt{1 + x^2}) + C$。