一无限长直导线通以电流I=(I)_(0)sin omega t，和直导线在同一平面内有一矩形线框，其短边与直导线平行，线框的尺寸及位置如题图所示，且dfrac(b)(c)=3。求：=(I)_(0)sin omega t(1)直导线和线框的互感系数；(2)线框中的互感电动势。

考查要点：本题主要考查互感系数的计算及互感电动势的求解，涉及磁场的计算、磁通量的积分方法以及法拉第电磁感应定律的应用。

解题核心思路：

1. 互感系数：通过无限长直导线产生的磁场，计算穿过矩形线框的磁通量，再利用公式 $M = \dfrac{\Phi}{I}$ 求解。
2. 互感电动势：根据法拉第电磁感应定律，电动势 $\mathcal{E} = -M \dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$，结合电流的时间变化率求解。

破题关键点：

• 磁场公式：无限长直导线的磁场 $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$。
• 磁通量积分：线框在径向距离 $c$ 到 $b$ 的区域，需对磁场沿线框宽度积分。
• 对数关系：利用 $\dfrac{b}{c} = 3$ 简化结果。

第（1）题：互感系数

磁场计算

无限长直导线的磁场为：
$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$
其中 $r$ 为到导线的距离。

磁通量积分

线框的长为 $a$，短边距离导线分别为 $c$ 和 $b$。取线框宽度方向的微小段 $\mathrm{d}x$，对应的磁通量为：
$\mathrm{d}\Phi = B \cdot \mathrm{d}S = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi x} \cdot a \, \mathrm{d}x$
总磁通量为：
$\Phi = \int_{c}^{b} \dfrac{\mu_0 I a}{2\pi x} \, \mathrm{d}x = \dfrac{\mu_0 I a}{2\pi} \ln \dfrac{b}{c}$

互感系数

由 $M = \dfrac{\Phi}{I}$ 得：
$M = \dfrac{\mu_0 a}{2\pi} \ln 3$

第（2）题：互感电动势

电流变化率

电流 $I = I_0 \sin \omega t$，其时间导数为：
$\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = I_0 \omega \cos \omega t$

电动势计算

根据 $\mathcal{E} = -M \dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$，代入 $M$ 的表达式：
$\mathcal{E} = -\dfrac{\mu_0 a}{2\pi} \ln 3 \cdot I_0 \omega \cos \omega t$