题目
6.设随机变量X的密度函数为 f(x)= ) k(e)^-x,xgeqslant lambda 0,xlt lambda ()-|||-(A)与a无关,随λ增大而增大 (B)与λ无关,随a增大而增大-|||-(C)与a无关,随λ增大而减小 (D)与λ无关,随a增大而减小
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定k的值
根据概率密度函数的性质，整个定义域上的积分应等于1，即
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{\lambda}^{+\infty} k e^{-x} dx = 1
$$
解这个积分，得到
$$
\int_{\lambda}^{+\infty} k e^{-x} dx = -k e^{-x} \Big|_{\lambda}^{+\infty} = k e^{-\lambda} = 1
$$
因此，$k = e^{\lambda}$。
步骤 2：计算概率 $P\{ \lambda \lt X\lt \lambda +a\}$
根据概率密度函数，计算概率 $P\{ \lambda \lt X\lt \lambda +a\}$，即
$$
P\{ \lambda \lt X\lt \lambda +a\} = \int_{\lambda}^{\lambda + a} f(x) dx = \int_{\lambda}^{\lambda + a} e^{\lambda - x} dx
$$
解这个积分，得到
$$
\int_{\lambda}^{\lambda + a} e^{\lambda - x} dx = -e^{\lambda - x} \Big|_{\lambda}^{\lambda + a} = -e^{-a} + 1 = 1 - e^{-a}
$$
根据概率密度函数的性质，整个定义域上的积分应等于1，即
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{\lambda}^{+\infty} k e^{-x} dx = 1
$$
解这个积分，得到
$$
\int_{\lambda}^{+\infty} k e^{-x} dx = -k e^{-x} \Big|_{\lambda}^{+\infty} = k e^{-\lambda} = 1
$$
因此，$k = e^{\lambda}$。
步骤 2：计算概率 $P\{ \lambda \lt X\lt \lambda +a\}$
根据概率密度函数，计算概率 $P\{ \lambda \lt X\lt \lambda +a\}$，即
$$
P\{ \lambda \lt X\lt \lambda +a\} = \int_{\lambda}^{\lambda + a} f(x) dx = \int_{\lambda}^{\lambda + a} e^{\lambda - x} dx
$$
解这个积分，得到
$$
\int_{\lambda}^{\lambda + a} e^{\lambda - x} dx = -e^{\lambda - x} \Big|_{\lambda}^{\lambda + a} = -e^{-a} + 1 = 1 - e^{-a}
$$