9 已知圆O：x^2+y^2=1，圆A：x^2+y^2-6x-8y+k=0，则下列说法正确的是（）A.点A的坐标为(-3,-4) B.k=9时，圆A与x轴相切C.当k=-11时，圆A与圆O相切D.当圆A与圆O相交时，两交点所在的直线方程为6x+8y-k-2=0
题目解答
答案
为了判断各个选项的正确性，我们需要先对圆 $A$ 的方程进行化简，并分析其圆心和半径。
已知圆 $O$ 的方程为：$x^2 + y^2 = 1$。
已知圆 $A$ 的方程为：$x^2 + y^2 - 6x - 8y + k = 0$。
我们将圆 $A$ 的方程进行配方，化为标准方程：
$(x^2 - 6x) + (y^2 - 8y) = -k$
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = -k + 9 + 16$
$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 - k$
由此可知，圆 $A$ 的圆心坐标为 $A(3, 4)$，半径 $r_A = \sqrt{25 - k}$（前提是 $25 - k > 0$，即 $k < 25$）。
圆 $O$ 的圆心坐标为 $O(0, 0)$，半径 $r_O = 1$。
接下来我们逐一分析四个选项：
A. 点 $A$ 的坐标为 $(-3, -4)$
根据前面的推导，圆 $A$ 的圆心坐标为 $(3, 4)$，而不是 $(-3, -4)$。
因此，选项 A 错误。
B. $k = 9$ 时，圆 $A$ 与 $x$ 轴相切
当 $k = 9$ 时，圆 $A$ 的半径 $r_A = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$。
圆 $A$ 的圆心 $A(3, 4)$ 到 $x$ 轴的距离 $d = |y_A| = |4| = 4$。
因为圆心到 $x$ 轴的距离等于圆的半径（$d = r_A = 4$），所以圆 $A$ 与 $x$ 轴相切。
因此，选项 B 正确。
C. 当 $k = -11$ 时，圆 $A$ 与圆 $O$ 相切
当 $k = -11$ 时，圆 $A$ 的半径 $r_A = \sqrt{25 - (-11)} = \sqrt{36} = 6$。
圆 $O$ 的半径 $r_O = 1$。
两圆圆心之间的距离 $|OA| = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$。
两圆半径之差的绝对值为 $|r_A - r_O| = |6 - 1| = 5$。
因为圆心距 $|OA|$ 等于两圆半径之差的绝对值（$|OA| = |r_A - r_O| = 5$），所以圆 $A$ 与圆 $O$ 内切。内切属于相切的一种情况。
因此，选项 C 正确。
D. 当圆 $A$ 与圆 $O$ 相交时，两交点所在的直线方程为 $6x + 8y - k - 2 = 0$
当两圆相交时，两交点所在的直线（即公共弦所在的直线）方程可以通过将两圆的一般方程相减得到。
圆 $O$ 的方程：$x^2 + y^2 - 1 = 0$
圆 $A$ 的方程：$x^2 + y^2 - 6x - 8y + k = 0$
将两式相减（圆 $A$ 的方程减去圆 $O$ 的方程）：
$(x^2 + y^2 - 6x - 8y + k) - (x^2 + y^2 - 1) = 0$
$-6x - 8y + k + 1 = 0$
化简得：$6x + 8y - k - 1 = 0$。
题目中给出的直线方程为 $6x + 8y - k - 2 = 0$，常数项不符。
因此，选项 D 错误。
综上所述，正确的说法是 B 和 C。
正确答案：BC
解析
本题主要考查圆的标准方程、圆与直线的位置关系以及圆与圆的位置关系等知识点。解题的关键在于将圆的一般方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据不同的位置关系条件进行判断。
- 将圆$A$的方程化为标准方程：
已知圆$A$的方程为$x^{2}+y^{2}-6x - 8y + k = 0$，通过配方可得：
$\begin{align*}(x^{2}-6x)+(y^{2}-8y)&=-k\\(x^{2}-6x + 9)+(y^{2}-8y + 16)&=-k + 9 + 16\\(x - 3)^{2}+(y - 4)^{2}&=25 - k\end{align*}$
所以圆$A$的圆心坐标为$A(3, 4)$，半径$r_A = \sqrt{25 - k}$（$k < 25$）。圆$O$：$x^{2}+y^{2}=1$的圆心坐标为$O(0, 0)$，半径$r_O = 1$。 - 分析选项A：
由前面的推导可知圆$A$的圆心坐标为$(3, 4)$，并非$(-3, -4)$，所以选项A错误。 - 分析选项B：
当$k = 9$时，圆$A$的半径$r_A = \sqrt{25 - 9}=\sqrt{16} = 4$。
圆$A$的圆心$A(3, 4)$到$x$轴的距离$d = |y_A| = |4| = 4$。
因为圆心到$x$轴的距离等于圆的半径（$d = r_A = 4$），所以圆$A$与$x$轴相切，选项B正确。 - 分析选项C：
当$k = -11$时，圆$A$的半径$r_A = \sqrt{25 - (-11)}=\sqrt{36} = 6$。
两圆圆心之间的距离$\vert OA\vert=\sqrt{(3 - 0)^{2}+(4 - 0)^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25} = 5$。
两圆半径之差的绝对值为$\vert r_A - r_O\vert = \vert 6 - 1\vert = 5$。
因为圆心距$\vert OA\vert$等于两圆半径之差的绝对值（$\vert OA\vert = \vert r_A - r_O\vert = 5$），所以圆$A$与圆$O$内切，内切属于相切的一种情况，选项C正确。 - 分析选项D：
当两圆相交时，两交点所在的直线（即公共弦所在的直线）方程可以通过将两圆的一般方程相减得到。
圆$O$的方程$x^{2}+y^{2}-1 = 0$，圆$A$的方程$x^{2}+y^{2}-6x - 8y + k = 0$。
将两式相减（圆$A$的方程减去圆$O$的方程）：
$\begin{align*}(x^{2}+y^{2}-6x - 8y + k)-(x^{2}+y^{2}-1)&=0\\-6x - 8y + k + 1&=0\end{align*}$
化简得$6x + 8y - k - 1 = 0$。
题目中给出的直线方程为$6x + 8y - k - 2 = 0$，常数项不符，所以选项D错误。