题目
设A是 times 4 矩阵、且A的列向量组线性无关,则下列错误的是 ()-|||-A 对于任意列向量b,线性方程组 ^Tx=b 必有无穷多解-|||-B 对于任意列向量b,线性方程组 Ax=b 必有唯一解-|||-C 齐次线性方程组 ^Tx=overrightarrow (0) 只有零解-|||-D 齐次线性方程组 =overrightarrow (0) 必有非零解
题目解答
答案
D. 齐次线性方程组 $Ax=\overrightarrow {0}$ 必有非零解
解析
步骤 1：确定矩阵A的秩
由于A是 $5\times 4$ 矩阵，且A的列向量组线性无关，因此A的列向量组的秩为4，即 $r(A)=4$。这意味着A是列满秩的矩阵。
步骤 2：分析 ${A}^{T}x=b$ 的解
由于 $r(A)=4$，则 $r({A}^{T})=4$，即 ${A}^{T}$ 是行满秩的矩阵。因此，对于任意列向量b，线性方程组 ${A}^{T}x=b$ 必有唯一解，而不是无穷多解。因此，选项A错误。
步骤 3：分析 Ax=b 的解
由于 $r(A)=4$，即A是列满秩的矩阵，因此对于任意列向量b，线性方程组 Ax=b 必有唯一解。因此，选项B正确。
步骤 4：分析齐次线性方程组 ${A}^{T}x=\overrightarrow {0}$ 的解
由于 $r({A}^{T})=4$，即 ${A}^{T}$ 是行满秩的矩阵，因此齐次线性方程组 ${A}^{T}x=\overrightarrow {0}$ 只有零解。因此，选项C正确。
步骤 5：分析齐次线性方程组 $Ax=\overrightarrow {0}$ 的解
由于 $r(A)=4$，即A是列满秩的矩阵，因此齐次线性方程组 $Ax=\overrightarrow {0}$ 只有零解，而不是必有非零解。因此，选项D错误。
由于A是 $5\times 4$ 矩阵，且A的列向量组线性无关，因此A的列向量组的秩为4，即 $r(A)=4$。这意味着A是列满秩的矩阵。
步骤 2：分析 ${A}^{T}x=b$ 的解
由于 $r(A)=4$，则 $r({A}^{T})=4$，即 ${A}^{T}$ 是行满秩的矩阵。因此，对于任意列向量b，线性方程组 ${A}^{T}x=b$ 必有唯一解，而不是无穷多解。因此，选项A错误。
步骤 3：分析 Ax=b 的解
由于 $r(A)=4$，即A是列满秩的矩阵，因此对于任意列向量b，线性方程组 Ax=b 必有唯一解。因此，选项B正确。
步骤 4：分析齐次线性方程组 ${A}^{T}x=\overrightarrow {0}$ 的解
由于 $r({A}^{T})=4$，即 ${A}^{T}$ 是行满秩的矩阵，因此齐次线性方程组 ${A}^{T}x=\overrightarrow {0}$ 只有零解。因此，选项C正确。
步骤 5：分析齐次线性方程组 $Ax=\overrightarrow {0}$ 的解
由于 $r(A)=4$，即A是列满秩的矩阵，因此齐次线性方程组 $Ax=\overrightarrow {0}$ 只有零解，而不是必有非零解。因此，选项D错误。