(17页例5)圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为,问当底半径与高分别为多少时,圆柱体的体积最大?

考查要点：本题属于条件极值问题，需要在圆柱体母线长度固定的条件下，求体积的最大值。
解题思路：

1. 建立约束关系：圆柱体上底中心到下底边沿的距离为$L$，利用勾股定理建立$r$与$h$的关系式。
2. 构造体积函数：将体积$V$表示为单一变量的函数（如$h$）。
3. 求导找极值：通过求导找到临界点，并验证其为最大值点。
   关键点：正确建立$r$与$h$的约束关系，以及对体积函数求导后的符号分析。

建立约束关系

圆柱体上底中心到下底边沿的距离为$L$，由几何关系得：
$h^2 + r^2 = L^2$

构造体积函数

圆柱体积公式为：
$V = \pi r^2 h$
将$r^2 = L^2 - h^2$代入得：
$V = \pi (L^2 - h^2)h = \pi (L^2 h - h^3)$

求导找极值

对$V$关于$h$求导并令导数为零：
$\frac{dV}{dh} = \pi (L^2 - 3h^2) = 0$
解得：
$h = \frac{\sqrt{3}}{3} L$
代入约束关系得：
$r = \sqrt{L^2 - h^2} = \frac{\sqrt{6}}{3} L$

验证最大值

二阶导数或区间分析可知，当$h = \frac{\sqrt{3}}{3} L$时，体积$V$取得最大值。