题目
二、在每次试验中事件A发生的概率为0.5，如果做100次独立试验，设事件A发生的次数为X，试用切比雪夫不等式估计X在40到60之间取值的概率。
二、在每次试验中事件A发生的概率为0.5，如果做100次独立试验，设事件A发生的次数为X，试用切比雪夫不等式估计X在40到60之间取值的概率。
题目解答
答案
设事件 $ A $ 发生次数 $ X $ 服从二项分布 $ B(100, 0.5) $，则期望 $ E(X) = np = 50 $，方差 $ D(X) = np(1-p) = 25 $。
利用切比雪夫不等式 $ P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2} $，取 $ \varepsilon = 10 $，得：
\[ P(|X - 50| \geq 10) \leq \frac{25}{100} = 0.25. \]
因此，
\[ P(40 \leq X \leq 60) = P(|X - 50| \leq 10) \geq 1 - 0.25 = 0.75. \]
答案：$\boxed{\frac{3}{4}}$
解析
步骤 1：确定分布和参数
事件 $ A $ 发生次数 $ X $ 服从二项分布 $ B(100, 0.5) $，其中 $ n = 100 $，$ p = 0.5 $。
步骤 2：计算期望和方差
期望 $ E(X) = np = 100 \times 0.5 = 50 $。
方差 $ D(X) = np(1-p) = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25 $。
步骤 3：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式 $ P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2} $。
取 $ \varepsilon = 10 $，则 $ P(|X - 50| \geq 10) \leq \frac{25}{10^2} = 0.25 $。
步骤 4：计算概率
$ P(40 \leq X \leq 60) = P(|X - 50| \leq 10) = 1 - P(|X - 50| \geq 10) \geq 1 - 0.25 = 0.75 $。
事件 $ A $ 发生次数 $ X $ 服从二项分布 $ B(100, 0.5) $，其中 $ n = 100 $，$ p = 0.5 $。
步骤 2：计算期望和方差
期望 $ E(X) = np = 100 \times 0.5 = 50 $。
方差 $ D(X) = np(1-p) = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25 $。
步骤 3：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式 $ P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2} $。
取 $ \varepsilon = 10 $，则 $ P(|X - 50| \geq 10) \leq \frac{25}{10^2} = 0.25 $。
步骤 4：计算概率
$ P(40 \leq X \leq 60) = P(|X - 50| \leq 10) = 1 - P(|X - 50| \geq 10) \geq 1 - 0.25 = 0.75 $。