1.利用导数定义讨论下列函数在给定点处的可导性,若可导,-|||-试求出导数:-|||-(1) (z)=sqrt (|xy|) , =0;-|||-(2) (z)=dfrac (1)(z) , neq 0;-|||-(3) (z)=dfrac (Re(z))(1+|z|),z=0;-|||-(4) f(z)= ^2+{y)^4}, zneq 0 0, z=0 . =0.

考查要点：本题主要考查复变函数在给定点处的可导性判断，需利用导数的定义，结合不同路径趋近于0时的极限是否存在且相等来判断。

解题核心思路：

1. 导数定义：复变函数在一点可导，当且仅当极限 $\lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}$ 存在且与路径无关。
2. 路径依赖性：若沿不同路径趋近于0时极限值不同，则函数在该点不可导。

破题关键点：

• 代入定义：将函数表达式代入导数定义，分析沿不同路径（如实轴、虚轴、斜线等）的极限。
• 化简表达式：通过变量替换或路径参数化，判断极限是否存在。

(1) $f(z) = \sqrt{|xy|}$，$z=0$

分析路径极限：

• 沿实轴（$y=0$）：$f(h) = 0$，差商为 $0$，极限为 $0$。
• 沿虚轴（$x=0$）：$f(h) = 0$，差商为 $0$，极限为 $0$。
• 沿斜线 $y=x$：$f(h) = |x|$，差商为 $\frac{|x|}{x(1+i)}$，当 $x \to 0^+$ 时极限为 $\frac{1}{1+i}$，当 $x \to 0^-$ 时极限为 $\frac{-1}{1+i}$，矛盾。

结论：极限不存在，不可导。

(2) $f(z) = \dfrac{1}{z}$，$z \neq 0$

直接求导：

• 由导数定义：$\lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{z+h} - \frac{1}{z}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{z(z+h)} = -\frac{1}{z^2}$。

结论：可导，导数为 $-\dfrac{1}{z^2}$。

(3) $f(z) = \dfrac{\text{Re}(z)}{1+|z|}$，$z=0$

分析路径极限：

• 沿实轴（$y=0$）：差商为 $\frac{x}{1+|x|} \cdot \frac{1}{x} \to 1$。
• 沿虚轴（$x=0$）：差商为 $0$，极限为 $0$。

结论：极限不一致，不可导。

(4) $f(z) = \dfrac{x(x^2 + y^2)(y - xi)}{x^2 + y^4}$，$z \neq 0$；$f(0) = 0$

分析路径极限：

• 沿实轴（$y=0$）：分子为 $0$，差商为 $0$，极限为 $0$。
• 沿斜线 $y = kx$：化简后极限为 $\dfrac{(1+k^2)(k - i)}{(1+ki)}$，与 $k$ 有关（如 $k=1$ 时极限为 $-i$，$k=0$ 时极限为 $0$）。

结论：极限不一致，不可导。