设向量组 alpha ',(alpha )_(2),(alpha )_(3) 与 alpha ',(alpha )_(2),(alpha )_(3)均线性无关, 向量组 alpha ',(alpha )_(2),(alpha )_(3)线性相关, 则向量组 alpha ',(alpha )_(2),(alpha )_(3)A 线性相关B 极大无关组为 alpha ',(alpha )_(2),(alpha )_(3)C 秩为 3D 线性无关

考查要点：本题主要考查向量组的线性相关性、线性组合以及极大无关组的概念。
解题思路：

1. 利用已知条件：已知α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3,α4线性无关，而α1,α2,α3,α5线性相关。
2. 分析α5的表达式：由α1,α2,α3,α5线性相关，可将α5表示为α1,α2,α3的线性组合。
3. 代入新向量组：将α5代入α4+α5，分析向量组α1,α2,α3,α4+α5的线性相关性。
   关键点：通过线性无关的定义，验证系数是否全为零，从而判断向量组的线性相关性。

条件分析

1. α1,α2,α3线性无关：说明它们的秩为3，任意向量无法被其余向量线性表示。
2. α1,α2,α3,α4线性无关：说明α4不能被α1,α2,α3线性表示，且秩为4。
3. α1,α2,α3,α5线性相关：存在不全为零的系数，使得α5可被α1,α2,α3线性表示。

推导过程

1. 表示α5：
   由α1,α2,α3,α5线性相关，存在不全为零的系数$c_1,c_2,c_3,c_5$，使得
   $c_1α_1 + c_2α_2 + c_3α_3 + c_5α_5 = 0.$
   因为α1,α2,α3线性无关，故$c_5 \neq 0$，可解得：
   $α_5 = -\frac{c_1}{c_5}α_1 - \frac{c_2}{c_5}α_2 - \frac{c_3}{c_5}α_3.$

2. 分析α4+α5：
   将α5代入α4+α5，得：
   $α_4 + α_5 = α_4 - \frac{c_1}{c_5}α_1 - \frac{c_2}{c_5}α_2 - \frac{c_3}{c_5}α_3.$

3. 验证线性无关性：
   假设存在系数$k_1,k_2,k_3,k_4$，使得
   $k_1α_1 + k_2α_2 + k_3α_3 + k_4(α_4 + α_5) = 0.$
   代入α5的表达式，整理得：
   $\left(k_1 - k_4\frac{c_1}{c_5}\right)α_1 + \left(k_2 - k_4\frac{c_2}{c_5}\right)α_2 + \left(k_3 - k_4\frac{c_3}{c_5}\right)α_3 + k_4α_4 = 0.$
   因为α1,α2,α3,α4线性无关，所有系数必须为零：
   $\begin{cases} k_1 - k_4\frac{c_1}{c_5} = 0, \\ k_2 - k_4\frac{c_2}{c_5} = 0, \\ k_3 - k_4\frac{c_3}{c_5} = 0, \\ k_4 = 0. \end{cases}$
   由$k_4=0$，代入前三个方程得$k_1=k_2=k_3=0$，故只有零解，说明向量组线性无关。