已知向量a=(1,2,3), 向量b=(4,5,6), 向量c=(7,8,9), 求向量a、b、c的混合积与向量a、c、b的混合积的和。 A. 0 B. 27 C. 81 D. -27

本题考查向量混合积（标量三重积）的计算以及其性质。解题思路是先根据向量混合积的行列式表示法计算向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$的混合积，再利用向量混合积的性质得到向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{c}$、$\mathbf{b}$的混合积，最后将这两个混合积相加。

计算向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$的混合积

向量$\mathbf{a}=(1,2,3)$，$\mathbf{b}=(4,5,6)$，$\mathbf{c}=(7,8,9)$的混合积$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$可以用行列式表示为：
$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{vmatrix}$
根据三阶行列式的展开法则\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\)，对上述行列式进行展开：
$\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{vmatrix} = 1\times\begin{vmatrix}5 & 6 \\8 & 9\end{vmatrix} - 2\times\begin{vmatrix}4 & 6 \\7 & 9\end{vmatrix} + 3\times\begin{vmatrix}4 & 5 \\7 & 8\end{vmatrix}$
计算二阶行列式的值：
\(\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}=5\times9 - 6\times8 = 45 - 48 = -3\)
\(\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}=4\times9 - 6\times7 = 36 - 42 = -6\)
\(\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}=4\times8 - 5\times7 = 32 - 35 = -3\)
将二阶行列式的值代入上式可得：
$\begin{align*}&1\times(-3) - 2\times(-6) + 3\times(-3)\\=& -3 + 12 - 9\\=& 0\end{align*}$
所以，向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$的混合积为$0$。

计算向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{c}$、$\mathbf{b}$的混合积

根据向量混合积的性质：$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{b}) = -\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$。
因为$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = 0$，所以$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{b}) = -0 = 0$。

计算两个混合积的和

将向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$的混合积与向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{c}$、$\mathbf{b}$的混合积相加：
$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{a} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{b}) = 0 + 0 = 0$