例8-13.长直同轴电缆,由半径为R1和R2的两同心圆柱组成,电缆中有稳恒电流I,经内层流进,外层流出形成回路。试计算长为的一段电缆内的磁场能量。解:设电缆中通有如图流向电流r由安培环路定理:BB212兀rdv=2πrdrO2μ182

考查要点：本题主要考查磁场能量的计算，涉及安培环路定理的应用及磁场能量积分公式的使用。

解题核心思路：

1. 确定磁场分布：利用安培环路定理求出电缆区域内各点的磁感应强度$B$。
2. 建立能量积分式：根据磁场能量公式$W = \int \frac{B^2}{2\mu_0} \mathrm{d}V$，结合柱坐标系下的体积元$\mathrm{d}V = 2\pi r \mathrm{d}r l$，完成积分计算。

破题关键点：

• 安培环路定理的应用：正确计算包围电流$I$的环路积分，得到$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$。
• 积分变量的转换：将体积元转换为柱坐标形式，并注意积分上下限为电缆的内半径$R_1$和外半径$R_2$。

步骤1：求磁场$B$

由安培环路定理，取半径为$r$的同心圆环为积分路径，有：
$\oint \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$
由于电流$I$均匀分布在电缆横截面，且$r$在$R_1 < r < R_2$范围内，包围的电流$I_{\text{enc}} = I$，解得：
$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

步骤2：建立磁能积分式

磁场能量公式为：
$W_m = \int \frac{B^2}{2\mu_0} \mathrm{d}V$
将$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$代入，并转换为柱坐标系下的体积元$\mathrm{d}V = 2\pi r \mathrm{d}r l$，得：
$W_m = \int_{R_1}^{R_2} \frac{\left(\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\right)^2}{2\mu_0} \cdot 2\pi r l \, \mathrm{d}r$

步骤3：化简并积分

化简积分式：
$W_m = \frac{\mu_0 I^2 l}{4\pi} \int_{R_1}^{R_2} \frac{1}{r} \mathrm{d}r$
积分结果为：
$\int_{R_1}^{R_2} \frac{1}{r} \mathrm{d}r = \ln\frac{R_2}{R_1}$
最终磁场能量为：
$W_m = \frac{\mu_0 I^2 l}{4\pi} \ln\frac{R_2}{R_1}$