题目

填空题（共4题，16.0分）4.（4.0分）微分方程(dy)/(dx)=2xy的通解是____。

填空题（共4题，16.0分） 4.（4.0分）微分方程$\frac{dy}{dx}=2xy$的通解是____。

题目解答

答案

将微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2xy$ 分离变量，得 \[ \frac{dy}{y} = 2x \, dx. \] 两边积分，有 \[ \int \frac{dy}{y} = \int 2x \, dx, \] 即 \[ \ln|y| = x^2 + C_1, \] 其中 $C_1$ 为积分常数。两边取指数，得 \[ |y| = e^{x^2 + C_1} = e^{C_1} e^{x^2}. \] 令 $C = e^{C_1}$，则 \[ y = C e^{x^2}, \] 其中 $C$ 可正可负，也可为零。因此，微分方程的通解为 \[ y = C e^{x^2}. \] 答案：$y = C e^{x^2}$（$C$ 为任意常数）。

解析

本题考查可分离变量的微分方程的求解。解题思路是先将给定的微分方程进行分离变量，把含有$y$的项和$dy$放在等式一边，含有$x$的项和$dx$放在等式另一边，然后对等式两边分别进行积分，最后通过化简得到通解的表达式。

对于微分方程$\frac{dy}{dx}=2xy$：

  1. 分离变量：
    因为$y\neq0$时（$y = 0$是方程的一个特解，后续在通解中$C = 0$时可包含该情况），将方程$\frac{dy}{dx}=2xy$变形为$\frac{dy}{y}=2x dx$。
  2. 两边积分：
    对$\frac{dy}{y}=2x dx$两边同时积分，根据积分公式$\int\frac{1}{y}dy=\ln|y|+C_1$，$\int 2x dx=x^{2}+C_2$（$C_1,C_2$为积分常数），可得$\int\frac{dy}{y}=\int 2x dx$，即$\ln|y|=x^{2}+C$（令$C = C_2 - C_1$，$C$仍为常数）。
  3. 求解$y$：
    为了得到$y$的表达式，对$\ln|y|=x^{2}+C$两边取指数，根据对数函数与指数函数的关系$e^{\ln a}=a$（$a>0$），可得$|y| = e^{x^{2}+C}=e^{C}e^{x^{2}}$。
    令$C_1 = e^{C}$（$C_1>0$），则$y = C_1e^{x^{2}}$。又因为当$C_1 = 0$时，$y = 0$也是原方程的解，所以可以将$C_1$扩展为任意常数$C$，即通解为$y = Ce^{x^{2}}$（$C$为任意常数）。