题目

2.已知A=}1&1&34&3&21&2&5，B=}1&1&-12&1&01&-1&1，且A^-1X=B，求矩阵X.

2.已知$A=\begin{bmatrix}1&1&3\\4&3&2\\1&2&5\end{bmatrix}$， $B=\begin{bmatrix}1&1&-1\\2&1&0\\1&-1&1\end{bmatrix}$， 且$A^{-1}X=B$，求矩阵X.

题目解答

答案

已知 $ A^{-1}X = B $，两边左乘 $ A $ 得： \[ X = AB \] 计算 $ AB $： \[ AB = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \] 结果为： \[ X = \begin{bmatrix} 6 & -1 & 2 \\ 12 & 5 & -2 \\ 10 & -2 & 4 \end{bmatrix} \] **答案：** \[ \boxed{\begin{bmatrix} 6 & -1 & 2 \\ 12 & 5 & -2 \\ 10 & -2 & 4 \end{bmatrix}} \]

解析

本题主要考察矩阵方程的求解及矩阵乘法运算。核心思路是利用矩阵逆的性质简化方程：对于方程$A^{-1}X = B$，两边同时左乘$A$（因为$A \cdot A^{-1} = E$，单位矩阵），可直接得到$X = AB$。后续只需计算矩阵$A$与$B$的乘积即可得到$X$。

矩阵乘法计算过程

矩阵$A$为$3 \times 3$矩阵，矩阵$B$为$3 \times 3$矩阵，乘积$AB$仍为$3 \times 3$矩阵，其元素$(i,j)$由$A$的第$i$行与$B$的第$j$列对应元素相乘再求和得到：

  1. 第一行元素：

    • $X_{11} = 1 \times 1 + 1 \times 2 + 3 \times 1 = 1 + 2 + 3 = 6$
    • $X_{12} = 1 \times 1 + 1 \times 1 + 3 \times (-1) = 1 + 1 - 3 = -1$
    • $X_{13} = 1 \times (-1) + 1 \times 0 + 3 \times 1 = -1 + 0 + 3 = 2$

  2. 第二行元素：

    • $X_{21} = 4 \times 1 + 3 \times 2 + 2 \times 1 = 4 + 6 + 2 = 12$
    • $X_{22} = 4 \times 1 + 3 \times 1 + 2 \times (-1) = 4 + 3 - 2 = 5$
    • $X_{23} = 4 \times (-1) + 3 \times 0 + 2 \times 1 = -4 + 0 + 2 = -2$

  3. 第三行元素：

    • $X_{31} = 1 \times 1 + 2 \times 2 + 5 \times 1 = 1 + 4 + 5 = 10$
    • $X_{32} = 1 \times 1 + 2 \times 1 + 5 \times (-1) = 1 + 2 - 5 = -2$
    • $X_{33} = 1 \times (-1) + 2 \times 0 + 5 \times 1 = -1 + 0 + 5 = 4$