3.[单选题]微分方程x(dy)/(dx)-2y=x^3e^x满足y|_(x-1)=0的特解是（）。A. y=x^2(e^-x+e)B. y=x^2(e^-x-e)C. y=x^2(e^x-e)D. y=x^2(e^x+e)

本题考查一阶线性非齐次微分方程的求解，解题思路是先将给定的微分方程化为一阶线性非齐次微分方程的标准形式，然后求出对应的齐次方程的通解，再使用常数变易法或公式法求出非齐次方程的通解，最后根据给定的初始条件确定通解中的常数，从而得到特解。

步骤一：将原方程化为一阶线性非齐次微分方程的标准形式

已知微分方程$x\frac{dy}{dx}-2y=x^{3}e^{x}$，等式两边同时除以$x$（$x\neq0$），得到$\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y=x^{2}e^{x}$。
此方程为一阶线性非齐次微分方程，其标准形式为$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)=-\frac{2}{x}$，$Q(x)=x^{2}e^{x}$。

步骤二：求对应的齐次方程的通解

对应的齐次方程为$\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y = 0$，这是一个可分离变量的微分方程，将其变形为$\frac{dy}{y}=\frac{2}{x}dx$。
两边同时积分：
$\int\frac{dy}{y}=\int\frac{2}{x}dx$
根据积分公式$\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C$，可得$\ln|y| = 2\ln|x| + C_1$。
根据对数运算法则$a\ln b=\ln b^a$，进一步化简为$\ln|y|=\ln x^{2}+C_1$，即$y = Cx^{2}$（$C = \pm e^{C_1}$），这就是齐次方程的通解。

步骤三：使用常数变易法求非齐次方程的通解

设非齐次方程的通解为$y = C(x)x^{2}$，对其求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime=u^\prime v + uv^\prime$，可得$\frac{dy}{dx}=C^\prime(x)x^{2}+2xC(x)$。
将$y$和$\frac{dy}{dx}$代入原非齐次方程$\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y=x^{2}e^{x}$中，得到：
$C^\prime(x)x^{2}+2xC(x)-\frac{2}{x}\cdot C(x)x^{2}=x^{2}e^{x}$
化简可得$C^\prime(x)x^{2}=x^{2}e^{x}$，两边同时除以$x^{2}$（$x\neq0$），得到$C^\prime(x)=e^{x}$。
对$C^\prime(x)$积分，可得$C(x)=\int e^{x}dx=e^{x}+C$。
所以非齐次方程的通解为$y = (e^{x}+C)x^{2}$。

步骤四：根据初始条件确定常数$C$

已知$y|_{x = 1}=0$，将$x = 1$，$y = 0$代入通解$y = (e^{x}+C)x^{2}$中，得到$0=(e^{1}+C)\times1^{2}$，即$e + C = 0$，解得$C = -e$。

步骤五：得到特解

将$C = -e$代入通解$y = (e^{x}+C)x^{2}$中，得到特解$y = x^{2}(e^{x}-e)$。