下面哪个方程在 [ 0 , 1 ] 内有实根A.+tan x+dfrac (1)(4)=0A.+tan x+dfrac (1)(4)=0A.+tan x+dfrac (1)(4)=0A.+tan x+dfrac (1)(4)=0

考查要点：本题主要考查函数在区间内是否存在实根的判断方法，涉及函数的单调性、导数的应用以及方程根的存在性定理。

解题核心思路：

1. 判断函数在区间端点的符号：若函数在区间端点处的值符号不同，则根据中间值定理，必存在实根。
2. 分析函数的单调性：通过求导判断函数在区间内的单调性，结合端点值确定是否存在变号点。

破题关键点：

• 选项D的函数$f(x)=x+\tan x-\frac{1}{4}$在区间$[0,1]$内单调递增，且端点值由负变正，必存在实根。
• 其他选项的函数在区间内要么始终为正或负，要么单调性导致无法变号，因此无实根。

选项A：$x+\tan x+\frac{1}{4}=0$

1. 函数单调性：$f(x)=x+\tan x+\frac{1}{4}$，导数为$f'(x)=1+\sec^2x>0$，函数在$[0,1]$内严格递增。
2. 端点值：
   • $f(0)=0+\tan 0+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}>0$，
   • $f(1)=1+\tan 1+\frac{1}{4}\approx 2.807>0$。
3. 结论：函数始终为正，无实根。

选项B：$\frac{1}{2}x-\tan x-1=0$

1. 函数单调性：$f(x)=\frac{1}{2}x-\tan x-1$，导数为$f'(x)=\frac{1}{2}-\sec^2x$。在$[0,1]$内，$\sec^2x\geq1$，故$f'(x)\leq-\frac{1}{2}<0$，函数严格递减。
2. 端点值：
   • $f(0)=0-\tan 0-1=-1<0$，
   • $f(1)=\frac{1}{2}-\tan 1-1\approx-2.057<0$。
3. 结论：函数始终为负，无实根。

选项C：$3x^2+x+1=0$

1. 判别式：$\Delta=1^2-4 \cdot 3 \cdot 1=-11<0$，方程无实根。
2. 结论：在任意区间内均无实根。

选项D：$x+\tan x-\frac{1}{4}=0$

1. 函数单调性：$f(x)=x+\tan x-\frac{1}{4}$，导数为$f'(x)=1+\sec^2x>0$，函数严格递增。
2. 端点值：
   • $f(0)=0+\tan 0-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}<0$，
   • $f(1)=1+\tan 1-\frac{1}{4}\approx2.307>0$。
3. 结论：函数由负变正，根据中间值定理，必存在实根。