函数f(x)=pi+arctan x是（）.A. 有界函数B. 无界函数C. 单调减函数D. 周期函数

考查要点：本题主要考查函数的基本性质，包括有界性、单调性、周期性，以及导数的应用。

解题核心思路：

1. 分析函数值域：通过基本初等函数$\arctan x$的值域推导$f(x)$的值域，判断有界性。
2. 求导数：通过导数的符号判断函数的单调性。
3. 周期性判断：结合$\arctan x$的单调性及常数项的影响，分析周期性。

破题关键点：

• $\arctan x$的值域为$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，加上$\pi$后值域变为$\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$，说明$f(x)$有界。
• 导数$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} > 0$，函数单调递增。
• 非周期性：$\arctan x$本身非周期函数，加常数后仍保持非周期性。

选项分析

A. 有界函数

$\arctan x$的值域为$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$，因此$f(x) = \pi + \arctan x$的值域为：
$\pi + \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$
该区间有限，故$f(x)$是有界函数，A正确。

B. 无界函数

由值域$\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$可知，$f(x)$的取值范围被限制在有限区间内，B错误。

C. 单调减函数

求导得：
$f'(x) = \frac{d}{dx} (\pi + \arctan x) = \frac{1}{1+x^2}$
由于$1+x^2 > 0$对任意$x$成立，故$f'(x) > 0$，函数单调递增，C错误。

D. 周期函数

$\arctan x$是单调函数，非周期函数。加常数$\pi$后，函数形状未改变，仍保持单调性，D错误。