题目
3.下列极限运算正确的是 ()-|||-A. lim _(xarrow 0)xsin dfrac (1)(x)=0 B. lim _(xarrow infty )dfrac (sin x)(x)=1-|||-C. lim _(xarrow infty )((1-dfrac {1)(x))}^x=e D. lim _(xarrow 0)xsin dfrac (1)(x)=1
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析选项 A
$\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{x}$，由于 $\sin \dfrac {1}{x}$ 在 $x\rightarrow 0$ 时有界，而 $x$ 趋近于 0，所以 $x\sin \dfrac {1}{x}$ 趋近于 0。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{x}=0$ 是正确的。
步骤 2：分析选项 B
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\sin x}{x}$，由于 $\sin x$ 在 $x\rightarrow \infty$ 时有界，而 $x$ 趋近于无穷大，所以 $\dfrac {\sin x}{x}$ 趋近于 0。因此，$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\sin x}{x}=1$ 是错误的。
步骤 3：分析选项 C
$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {1}{x})}^{x}$，根据极限的定义，$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {1}{x})}^{x}=\dfrac {1}{e}$。因此，$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {1}{x})}^{x}=e$ 是错误的。
步骤 4：分析选项 D
$\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{x}$，与步骤 1 的分析相同，$\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{x}=0$。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{x}=1$ 是错误的。
$\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{x}$，由于 $\sin \dfrac {1}{x}$ 在 $x\rightarrow 0$ 时有界，而 $x$ 趋近于 0，所以 $x\sin \dfrac {1}{x}$ 趋近于 0。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{x}=0$ 是正确的。
步骤 2：分析选项 B
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\sin x}{x}$，由于 $\sin x$ 在 $x\rightarrow \infty$ 时有界，而 $x$ 趋近于无穷大，所以 $\dfrac {\sin x}{x}$ 趋近于 0。因此，$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\sin x}{x}=1$ 是错误的。
步骤 3：分析选项 C
$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {1}{x})}^{x}$，根据极限的定义，$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {1}{x})}^{x}=\dfrac {1}{e}$。因此，$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {1}{x})}^{x}=e$ 是错误的。
步骤 4：分析选项 D
$\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{x}$，与步骤 1 的分析相同，$\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{x}=0$。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{x}=1$ 是错误的。