设 L_1: x^2 + y^2 = 1，L_2: x^2 + y^2 = 2，L_3: x^2 + 2y^2 = 2，L_4: 2x^2 + y^2 = 2 为四条逆时针方向的平面曲线，记 I_i = oint_(L_i) (y + (y^3)/(6) )dx + (2x - (x^3)/(3) )dy, (i=1,2,3,4)，则 max I_1, I_2, I_3, I_4 = ( )。A. I_1B. I_2C. I_3D. I_4

考查要点：本题主要考查格林公式的应用，以及二重积分在不同区域上的计算与比较。关键在于将曲线积分转化为二重积分，并分析被积函数在各区域内的正负性。

解题思路：

1. 应用格林公式：将环路积分转换为二重积分，简化计算。
2. 分析被积函数：确定被积函数 $1 - x^2 - \frac{y^2}{2}$ 在各区域内的符号分布。
3. 比较积分值：结合区域形状与被积函数的正负性，判断各积分的大小关系。

破题关键：

• 格林公式转换：正确计算偏导数，得到被积函数。
• 区域特性：明确各曲线围成的区域形状（圆或椭圆），分析被积函数在区域内的正负性。
• 积分值比较：通过区域面积与被积函数的正负性综合判断最大值。

步骤1：应用格林公式

对积分 $I_i = \oint_{L_i} P \, dx + Q \, dy$，应用格林公式：
$I_i = \iint_{D_i} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$
其中 $P = y + \frac{y^3}{6}$，$Q = 2x - \frac{x^3}{3}$，计算得：
$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2 - x^2, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 1 + \frac{y^2}{2}$
因此，被积函数为：
$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - x^2 - \frac{y^2}{2}$

步骤2：分析各区域的被积函数符号

• $D_1$（单位圆 $x^2 + y^2 \leq 1$）：
  在单位圆内，$x^2 + \frac{y^2}{2} \leq 1$ 恒成立，故被积函数 $1 - x^2 - \frac{y^2}{2} \geq 0$，积分值为正。

• $D_2$（半径 $\sqrt{2}$ 的圆 $x^2 + y^2 \leq 2$）：
  区域包含 $x^2 + \frac{y^2}{2} \leq 1$ 的部分（正）和 $x^2 + \frac{y^2}{2} > 1$ 的部分（负），整体积分值小于 $I_1$。

• $D_3$（椭圆 $x^2 + 2y^2 \leq 2$）：
  被积函数在椭圆内部分正、部分负，积分值较小。

• $D_4$（椭圆 $2x^2 + y^2 \leq 2$）：
  在椭圆内，$x^2 + \frac{y^2}{2} \leq 1$ 恒成立，被积函数 $1 - x^2 - \frac{y^2}{2} \geq 0$，且积分区域面积最大，故积分值最大。

步骤3：比较积分值

• $I_1$ 和 $I_4$ 的被积函数均非负，但 $D_4$ 的面积更大，故 $I_4 > I_1$。
• $I_2$ 和 $I_3$ 的积分值因负区域抵消而更小。