(单选题)(3分)14、设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=2)=P(X=3).则P(X=4)=（）。A. (2)/(3)e^2B. (27)/(8)e^-3C. (27)/(8)e^3D. (2)/(3)e^-3

本题考查泊松分布的概率公式及参数的求解。解题思路是先根据泊松分布的概率公式以及已知条件$P\{X = 2\} = P\{X = 3\}$求出参数$\lambda$的值，再将$\lambda$的值代入公式计算$P\{X = 4\}$。

步骤一：明确泊松分布的概率公式

若随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为$X\sim P(\lambda)$，其概率质量函数为$P\{X = k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中$k = 0, 1, 2, \cdots$，$\lambda\gt0$。

步骤二：根据已知条件求出参数$\lambda$

已知$P\{X = 2\} = P\{X = 3\}$，将其代入泊松分布的概率公式可得：
$\frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!}$
因为$e^{-\lambda}\neq0$，等式两边同时除以$e^{-\lambda}$，得到：
$\frac{\lambda^2}{2!} = \frac{\lambda^3}{3!}$
又因为$3! = 3\times2!$，则上式可化为：
$\frac{\lambda^2}{2!} = \frac{\lambda^3}{3\times2!}$
等式两边同时乘以$2!$，得到：
$\lambda^2 = \frac{\lambda^3}{3}$
移项可得：
$\lambda^3 - 3\lambda^2 = 0$
提取公因式$\lambda^2$，得到：
$\lambda^2(\lambda - 3) = 0$
则$\lambda^2 = 0$或$\lambda - 3 = 0$，解得$\lambda = 0$或$\lambda = 3$。
由于泊松分布的参数$\lambda\gt0$，所以$\lambda = 3$。

步骤三：计算$P\{X = 4\}$

将$\lambda = 3$，$k = 4$代入泊松分布的概率公式$P\{X = k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，可得：
$P\{X = 4\} = \frac{3^4 e^{-3}}{4!}$
因为$4! = 4\times3\times2\times1 = 24$，$3^4 = 81$，则：
$P\{X = 4\} = \frac{81 e^{-3}}{24} = \frac{27}{8}e^{-3}$