(2024 甘肃 56)高校管理学院某期培训班有不到100名学员参加，期中、期末两次考试平均分分别为68分和75分。期中考试不及格学员平均分为53分，及格学员平均分为74分；期末考试不及格学员平均分为47分，及格学员平均分为83分。问这期培训班有多少名学员参加？A. 42B. 54C. 63D. 77

考查要点：本题主要考查加权平均数的应用，需要根据两次考试的及格与不及格情况建立方程，找到总人数满足的条件。

解题核心思路：

1. 分别分析期中和期末考试的及格、不及格人数与总分的关系，建立关于总人数$N$的方程。
2. 通过方程推导出总人数$N$的约束条件，结合选项筛选出同时满足两个条件的数值。

破题关键点：

• 期中考试：不及格人数占总人数的比例为$\frac{2}{7}$，因此$N$必须是7的倍数。
• 期末考试：不及格人数占总人数的比例为$\frac{2}{9}$，因此$N$必须是9的倍数。
• 综合条件：$N$需同时是7和9的倍数，即$N$是63的倍数，结合选项直接确定答案。

期中考试分析

设总人数为$N$，期中考试不及格人数为$x$，及格人数为$N - x$。
根据平均分关系：
$53x + 74(N - x) = 68N$
化简得：
$21x = 6N \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{7}N$
因此，$N$必须是7的倍数。

期末考试分析

设期末考试不及格人数为$y$，及格人数为$N - y$。
根据平均分关系：
$47y + 83(N - y) = 75N$
化简得：
$36y = 8N \quad \Rightarrow \quad y = \frac{2}{9}N$
因此，$N$必须是9的倍数。

综合条件

$N$需同时满足：

• 是7的倍数（选项中42、63、77符合条件）
• 是9的倍数（选项中54、63符合条件）

唯一共同解为$N = 63$。