求下列不定积分:-|||-19. int (e)^sqrt [3](x)dx..

考查要点：本题主要考查换元积分法和分部积分法的综合应用，特别是处理含有根号的指数函数积分。

解题核心思路：

1. 变量替换：令 $u = \sqrt[3]{x}$，将原积分转化为关于 $u$ 的多项式与指数函数的乘积形式。
2. 分部积分法：对转化后的积分 $\int u^2 e^u \, du$ 连续应用两次分部积分，逐步降低多项式的次数，最终得到可直接积分的形式。

破题关键点：

• 选择合适的换元：通过 $u = \sqrt[3]{x}$ 简化根号结构。
• 分部积分的策略：每次分部积分时，选择多项式部分为 $u$（分部积分公式中的 $u$），指数部分为 $dv$，以简化积分过程。

步骤 1：变量替换

令 $u = \sqrt[3]{x}$，即 $x = u^3$，则 $dx = 3u^2 \, du$。
原积分变为：
$\int e^{\sqrt[3]{x}} \, dx = \int e^u \cdot 3u^2 \, du = 3 \int u^2 e^u \, du.$

步骤 2：第一次分部积分

设 $v_1 = u^2$，$dw_1 = e^u \, du$，则 $dv_1 = 2u \, du$，$w_1 = e^u$。
根据分部积分公式 $\int v \, dw = vw - \int w \, dv$：
$\int u^2 e^u \, du = u^2 e^u - \int e^u \cdot 2u \, du = u^2 e^u - 2 \int u e^u \, du.$

步骤 3：第二次分部积分

对 $\int u e^u \, du$ 再次应用分部积分，设 $v_2 = u$，$dw_2 = e^u \, du$，则 $dv_2 = du$，$w_2 = e^u$：
$\int u e^u \, du = u e^u - \int e^u \, du = u e^u - e^u + C.$

步骤 4：合并结果

将两次分部积分的结果代入原积分：
$\begin{aligned}3 \int u^2 e^u \, du &= 3 \left[ u^2 e^u - 2 \left( u e^u - e^u \right) \right] + C \\&= 3 \left( u^2 e^u - 2u e^u + 2e^u \right) + C \\&= 3e^u \left( u^2 - 2u + 2 \right) + C.\end{aligned}$

步骤 5：回代变量

将 $u = \sqrt[3]{x}$ 代回，得到最终结果：
$3e^{\sqrt[3]{x}} \left( x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}} + 2 \right) + C.$