题目
已知 X 〜t (n),求证 X 2 - F(1,n).
已知 X 〜t (n),求证 X 2 - F(1,n).
题目解答
答案
证明:因为 X〜t (n),存在Y〜N(0, 1),Z〜 2(n),Y与Z独立,使_Y_,"Z n '由于Y2〜2(1),Z〜2(n),且Y2与Z独立,所以Y2Y 〜F(1,n).Z n
解析
步骤 1：定义 t 分布
t 分布定义为：如果 X 〜t(n)，则存在 Y 〜N(0, 1) 和 Z 〜χ²(n)，且 Y 和 Z 独立，使得 X = Y / √(Z/n)。
步骤 2：计算 X²
根据 t 分布的定义，X = Y / √(Z/n)，则 X² = (Y / √(Z/n))² = Y² / (Z/n)。
步骤 3：确定 Y² 和 Z 的分布
由于 Y 〜N(0, 1)，则 Y² 〜χ²(1)。Z 〜χ²(n) 已知。
步骤 4：确定 X² 的分布
由于 Y² 〜χ²(1) 和 Z 〜χ²(n)，且 Y² 和 Z 独立，根据 F 分布的定义，X² = Y² / (Z/n) 〜F(1, n)。
t 分布定义为：如果 X 〜t(n)，则存在 Y 〜N(0, 1) 和 Z 〜χ²(n)，且 Y 和 Z 独立，使得 X = Y / √(Z/n)。
步骤 2：计算 X²
根据 t 分布的定义，X = Y / √(Z/n)，则 X² = (Y / √(Z/n))² = Y² / (Z/n)。
步骤 3：确定 Y² 和 Z 的分布
由于 Y 〜N(0, 1)，则 Y² 〜χ²(1)。Z 〜χ²(n) 已知。
步骤 4：确定 X² 的分布
由于 Y² 〜χ²(1) 和 Z 〜χ²(n)，且 Y² 和 Z 独立，根据 F 分布的定义，X² = Y² / (Z/n) 〜F(1, n)。