k-|||-M-|||-()0 x如题图所示的弹簧振子，弹簧的劲度系数k=16N/m,物体的质量M=1kg,O为平衡位置。将物体向右拉长0.1m,并给予一向右的速度，大小为0.4m/s。取如图所示Ox轴，用余弦函数表示振子的运动规律，则振子做简谐振动的初相为（　　）A. (π)/(4)B. (3)/(4)πC. -(π)/(4)D. -(3)/(4)π

本题考查简谐振动的初相计算，核心在于利用初始条件确定振动方程中的相位角。关键点如下：

1. 振动方程形式：题目要求用余弦函数表示，即$x = A\cos(\omega t + \phi)$。
2. 初始条件：位移$x_0 = 0.1\ \text{m}$（向右），速度$v_0 = 0.4\ \text{m/s}$（向右）。
3. 角频率计算：$\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}$。
4. 联立方程求解初相：通过$x_0 = A\cos\phi$和$v_0 = -A\omega\sin\phi$联立，结合三角函数关系确定$\phi$的象限和具体值。

步骤1：计算角频率$\omega$

根据公式$\omega = \sqrt{\frac{k}{M}}$，代入$k = 16\ \text{N/m}$，$M = 1\ \text{kg}$：
$\omega = \sqrt{\frac{16}{1}} = 4\ \text{rad/s}.$

步骤2：联立初始条件求振幅$A$和初相$\phi$

1. 位移方程：$x_0 = A\cos\phi$，即：
   $0.1 = A\cos\phi.$
2. 速度方程：$v_0 = -A\omega\sin\phi$，即：
   $0.4 = -A \cdot 4 \cdot \sin\phi.$

步骤3：平方相加求振幅$A$

将两式平方后相加：
$x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2 = A^2\cos^2\phi + A^2\sin^2\phi = A^2.$
代入数据：
$A = \sqrt{0.1^2 + \left(\frac{0.4}{4}\right)^2} = \sqrt{0.01 + 0.01} = \sqrt{0.02} \approx 0.1414\ \text{m}.$

步骤4：确定初相$\phi$

1. 余弦值：$\cos\phi = \frac{x_0}{A} = \frac{0.1}{\sqrt{0.02}} \approx 0.7071$，对应$\phi = \frac{\pi}{4}$或$\frac{7\pi}{4}$。
2. 正弦值：$\sin\phi = \frac{-v_0}{A\omega} = \frac{-0.4}{0.1414 \cdot 4} \approx -0.7071$，对应$\phi$在第四象限。
3. 初相取值：结合余弦为正、正弦为负，$\phi = -\frac{\pi}{4}$（等价于$\frac{7\pi}{4}$）。