题目
14、函数f(x)=xf(x)=x在x=0处 A. 连续且可导 B. 连续不可导 C. 不连续 D. 可导不连续
14、函数$f(x)=xf(x)=x$在x=0处
A. 连续且可导
B. 连续不可导
C. 不连续
D. 可导不连续
A. 连续且可导
B. 连续不可导
C. 不连续
D. 可导不连续
题目解答
答案
函数 $ f(x) = x $ 在 $ x = 0 $ 处的性质分析如下：
1. **连续性**：
$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$，满足连续条件。
2. **可导性**：
$\lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1$，导数存在。
**答案**：
函数在 $ x = 0 $ 处连续且可导，选 $\boxed{A}$。
解析
考查要点：本题主要考查函数在某一点的连续性和可导性的判断。
解题核心思路：
- 连续性：验证函数在$x=0$处是否满足极限值等于函数值。
- 可导性：通过导数定义计算导数是否存在。
破题关键点：
- 连续性：直接代入$x=0$计算函数值，并求极限。
- 可导性：利用导数定义式化简后判断极限是否存在。
连续性分析
函数$f(x)=x$在$x=0$处有定义，且$f(0)=0$。
计算极限$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x = 0$，与$f(0)$相等，因此函数在$x=0$处连续。
可导性分析
根据导数定义：
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h - 0}{h} = \lim_{h \to 0} 1 = 1$
导数存在且等于$1$，因此函数在$x=0$处可导。