求过点(1，1，1)且垂直于二平面x-y+z=7和3x+2y-12z+5=0的平面方程。

步骤 1：确定已知平面的法向量
已知平面x-y+z=7的法向量为$\overrightarrow{A}=(1,-1,1)$，平面3x+2y-12z+5=0的法向量为$\overrightarrow{B}=(3,2,-12)$。

步骤 2：求解所求平面的法向量
所求平面垂直于已知的两个平面，因此所求平面的法向量$\overrightarrow{n}$应与$\overrightarrow{A}$和$\overrightarrow{B}$垂直。这意味着$\overrightarrow{n}$是$\overrightarrow{A}$和$\overrightarrow{B}$的叉积。计算$\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}$：
$$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -12 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-12) - (1)(2)) - \mathbf{j}((1)(-12) - (1)(3)) + \mathbf{k}((1)(2) - (-1)(3))$$
$$= \mathbf{i}(12 - 2) - \mathbf{j}(-12 - 3) + \mathbf{k}(2 + 3)$$
$$= 10\mathbf{i} + 15\mathbf{j} + 5\mathbf{k}$$
$$= (10, 15, 5)$$
为了简化，我们可以将法向量除以5，得到$\overrightarrow{n} = (2, 3, 1)$。

步骤 3：确定所求平面的方程
所求平面的方程可以表示为$2x + 3y + z = d$，其中$d$是常数。由于平面通过点(1, 1, 1)，将点的坐标代入方程求解$d$：
$$2(1) + 3(1) + 1 = d$$
$$2 + 3 + 1 = d$$
$$d = 6$$
因此，所求平面的方程为$2x + 3y + z = 6$。